Determine se a função f é contínua no número a dado. Calcule f-^prime(a) e f+^prime(a), se existirem, e determine se f é derivável em a.
(d) a=2 ; f(x)= 2 x^2-3 & se x <= 2 8 x-11 & se x>2

Passo 1

O enunciado pede para investigar a continuidade e a derivabilidade da função em a=2, onde ela é dada por duas fórmulas: f(x)=2x^2-3 para x<=2 e f(x)=8x-11 para x>2. Vamos usar conceitos de limite, continuidade e derivada lateral para resolver.

Passo 2

Para testar a continuidade em x=2, calculamos limxto2^-f(x), limxto2^+f(x) e o valor f(2). Temos
limxto2^-f(x)=2cdot2^2-3=8-3=5,
limxto2^+f(x)=8cdot2-11=16-11=5,
e f(2)=2cdot2^2-3=5. Como os limites lateral são iguais a f(2), a função é contínua em x=2.

Passo 3

Para calcular a derivada à esquerda (derivada lateral negativa) usamos a regra do polinômio: se f(x)=2x^2-3 então f'(x)=4x. Logo em x=2
f'-(2)=4cdot2=8

Passo 4

Para a derivada à direita (derivada lateral positiva), como f(x)=8x-11 tem derivada constante 8, obtemos
$$f

Passo 5

(2)=8.$$

Passo 6

Como f'-(2)=f'+(2)=8, a derivada lateral existe e coincide, logo f é derivável em x=2.

Resposta

A função é contínua em x=2, tem f'-(2)=8 e f'+(2)=8, e portanto é derivável em x=2 com f'(2)=8.

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