Determine se a função
é contínua no número
dado. Calcule
e
, se existirem, e determine se
é derivável em
.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para investigar a continuidade e a derivabilidade da função em
, onde ela é dada por duas fórmulas:
para
e
para
. Vamos usar conceitos de limite, continuidade e derivada lateral para resolver.
Passo 2
Para testar a continuidade em
, calculamos
,
e o valor
. Temos
e
Passo 3
Para calcular a derivada à esquerda (derivada lateral negativa) usamos a regra do polinômio: se
então
. Logo em
Passo 4
Para a derivada à direita (derivada lateral positiva), como
tem derivada constante
, obtemos
$$f
Passo 5
(2)=8.$$
Passo 6
Como
, a derivada lateral existe e coincide, logo
é derivável em
.
Resposta
A função é contínua em
, tem
e
, e portanto é derivável em
com
.