Aplique a regra de L’Hôpital para calcular os seguintes limites:
lim x 1 x^c-c x+c-1(x-1)^2, c in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem é um limite para calcular usando a Regra de L’Hôpital. O enunciado pede para achar:
lim x 1 x^c-c x+c-1(x-1)^2, c in R
A matéria aqui é cálculo de limites, especificamente usando a Regra de L’Hôpital. A gente vai precisar saber como derivar funções e identificar quando podemos aplicar essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Para isso, a gente precisa checar se o limite dá uma forma indeterminada como 0/0 ou ∞/∞.
Vamos substituir $ x = 1 $ na função:
No numerador:
x = 1
No denominador:
1^c - c cdot 1 + c - 1 = 1 - c + c - 1 = 0
Então, temos uma forma 0/0. Isso significa que a gente pode, sim, aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se limx to a f(x)g(x) dá 0/0 ou ∞/∞, então:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
Vamos então derivar o numerador e o denominador.
Derivando o numerador $ f(x) = x^{c} - c x + c - 1 $:
f(x) = x^c - c x + c - 1
Derivando o denominador $ g(x) = (x - 1)^2 $:
f'(x) = c x^c-1 - c

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas no limite:
lim x 1 c x^c-1 - c2(x - 1)
Vamos verificar novamente se ainda temos uma indeterminação. Substituindo $ x = 1 $:
No numerador:
x = 1
No denominador:
c cdot 1^c-1 - c = c - c = 0
Ainda estamos com 0/0, então vamos aplicar a Regra de L’Hôpital de novo.

Passo 5

Derivando novamente o numerador $ f’(x) = c x^{c-1} - c $:
f'(x) = c x^c-1 - c
Derivando novamente o denominador $ g’(x) = 2(x - 1) $:
f''(x) = c(c - 1) x^c-2

Passo 6

Agora, substituímos as segundas derivadas no limite:
lim x 1 c(c - 1) x^c-22
Agora, podemos substituir $ x = 1 $ diretamente:
x = 1

Resposta

O limite é igual a $ \frac{c(c - 1)}{2} $.

Exercícios relacionados