Aplique a regra de L’Hôpital para calcular os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem é um limite para calcular usando a Regra de L’Hôpital. O enunciado pede para achar:
A matéria aqui é cálculo de limites, especificamente usando a Regra de L’Hôpital. A gente vai precisar saber como derivar funções e identificar quando podemos aplicar essa regra.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Para isso, a gente precisa checar se o limite dá uma forma indeterminada como 0/0 ou ∞/∞.
Vamos substituir $ x = 1 $ na função:
No numerador:
No denominador:
Então, temos uma forma 0/0. Isso significa que a gente pode, sim, aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital nos diz que se
dá 0/0 ou ∞/∞, então:
Vamos então derivar o numerador e o denominador.
Derivando o numerador $ f(x) = x^{c} - c x + c - 1 $:
Derivando o denominador $ g(x) = (x - 1)^2 $:
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas no limite:
Vamos verificar novamente se ainda temos uma indeterminação. Substituindo $ x = 1 $:
No numerador:
No denominador:
Ainda estamos com 0/0, então vamos aplicar a Regra de L’Hôpital de novo.
Passo 5
Derivando novamente o numerador $ f’(x) = c x^{c-1} - c $:
Derivando novamente o denominador $ g’(x) = 2(x - 1) $:
Passo 6
Agora, substituímos as segundas derivadas no limite:
Agora, podemos substituir $ x = 1 $ diretamente:
Resposta
O limite é igual a $ \frac{c(c - 1)}{2} $.