Mostre as seguintes identidades do cálculo vetorial:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade
Pergunta: provar que a divergência do produto de um campo escalar
por um campo vetorial
satisfaz a igualdade acima. Informações dadas (implicitamente):
é uma função escalar diferenciável e
é um campo vetorial diferenciável (suficientemente suave) em
— ou em
— de modo que as derivadas parciais necessárias existam.
Passo 2
Definimos as quantidades envolvidas de forma explícita e com notação componente:
onde cada
é uma função de posição, e
é o campo escalar. Usarei as coordenadas
e as derivadas parciais
,
,
.
Passo 3
Recordando as definições (essas são fórmulas que você precisa decorar e entender):
a) A divergência de um campo vetorial é
a) A divergência de um campo vetorial
b) O gradiente de um escalar
é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais:
c) O produto escalar entre dois vetores
e
é
Essas definições serão usadas componente a componente.
Passo 4
Escrevemos primeiro o produto
em componentes:
Agora aplicamos a definição de divergência ao vetor
:
Passo 5
Usamos a regra do produto para derivadas parciais (é a mesma regra do cálculo de uma variável, aplicada a cada variável mantendo as outras fixas):
Somando as três expressões (porque a divergência é a soma das derivadas parciais das componentes) obtemos:
Passo 6
Reconhecemos os termos da soma:
o primeiro parêntese é exatamente o produto escalar entre e
,
o primeiro parêntese é exatamente o produto escalar entre
e o segundo parêntese é a divergência de
,
Portanto reunindo tudo:
Passo 7
Exemplo rápido em 2D para fixar a intuição: seja
e
dada. Então
que é exatamente
. Viu como é só aplicar produto e somar componente a componente?
Passo 8
Conclusão: a identidade foi provada componente a componente usando a regra do produto para derivadas parciais. Se as funções forem diferenciáveis, a demonstração é válida ponto a ponto.