Mostre as seguintes identidades do cálculo vetorial:
\begin{array}{cc} \text { d } & \vec{\nabla} \cdot(f \vec{u})=\vec{\nabla} f \cdot \vec{u}+f \vec{\nabla} \cdot \vec{u} \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
\vec{\nabla}\cdot(f\vec{u})=\vec{\nabla}f\cdot\vec{u}+f\,\vec{\nabla}\cdot\vec{u}.
Pergunta: provar que a divergência do produto de um campo escalar f por um campo vetorial \vec{u} satisfaz a igualdade acima. Informações dadas (implicitamente): f é uma função escalar diferenciável e \vec{u} é um campo vetorial diferenciável (suficientemente suave) em \mathbb{R}^3 — ou em \mathbb{R}^2 — de modo que as derivadas parciais necessárias existam.

Passo 2

Definimos as quantidades envolvidas de forma explícita e com notação componente:
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3),
onde cada u_i=u_i(x,y,z) é uma função de posição, e
f=f(x,y,z)
é o campo escalar. Usarei as coordenadas (x,y,z) e as derivadas parciais \partial/\partial x, \partial/\partial y, \partial/\partial z.

Passo 3

Recordando as definições (essas são fórmulas que você precisa decorar e entender):
a) A divergência de um campo vetorial \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) é
\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=\frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}+\frac{\partial v_3}{\partial z}.
b) O gradiente de um escalar f é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais:
\vec{\nabla}f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
c) O produto escalar entre dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Essas definições serão usadas componente a componente.

Passo 4

Escrevemos primeiro o produto f\vec{u} em componentes:
f\vec{u}=(f u_1,\; f u_2,\; f u_3).
Agora aplicamos a definição de divergência ao vetor f\vec{u}:
\vec{\nabla}\cdot(f\vec{u})=\frac{\partial}{\partial x}(f u_1)+\frac{\partial}{\partial y}(f u_2)+\frac{\partial}{\partial z}(f u_3).

Passo 5

Usamos a regra do produto para derivadas parciais (é a mesma regra do cálculo de uma variável, aplicada a cada variável mantendo as outras fixas):
\frac{\partial}{\partial x}(f u_1)=\frac{\partial f}{\partial x}u_1+f\frac{\partial u_1}{\partial x},
\frac{\partial}{\partial y}(f u_2)=\frac{\partial f}{\partial y}u_2+f\frac{\partial u_2}{\partial y},
\frac{\partial}{\partial z}(f u_3)=\frac{\partial f}{\partial z}u_3+f\frac{\partial u_3}{\partial z}.
Somando as três expressões (porque a divergência é a soma das derivadas parciais das componentes) obtemos:
\begin{split} \vec{\nabla}\cdot(f\vec{u}) &=\left(\frac{\partial f}{\partial x}u_1+\frac{\partial f}{\partial y}u_2+\frac{\partial f}{\partial z}u_3\right)\\\ &\quad +f\left(\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y}+\frac{\partial u_3}{\partial z}\right). \end{split}

Passo 6

Reconhecemos os termos da soma:
o primeiro parêntese é exatamente o produto escalar entre \vec{\nabla}f e \vec{u},
\vec{\nabla}f\cdot\vec{u}=\frac{\partial f}{\partial x}u_1+\frac{\partial f}{\partial y}u_2+\frac{\partial f}{\partial z}u_3,
e o segundo parêntese é a divergência de \vec{u},
\vec{\nabla}\cdot\vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y}+\frac{\partial u_3}{\partial z}.
Portanto reunindo tudo:
\vec{\nabla}\cdot(f\vec{u})=\vec{\nabla}f\cdot\vec{u}+f\,\vec{\nabla}\cdot\vec{u}.

Passo 7

Exemplo rápido em 2D para fixar a intuição: seja \vec{u}=(u_x,u_y) e f dada. Então
\vec{\nabla}\cdot(f\vec{u})=\frac{\partial}{\partial x}(f u_x)+\frac{\partial}{\partial y}(f u_y) =\frac{\partial f}{\partial x}u_x+\frac{\partial f}{\partial y}u_y+f\left(\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}\right),
que é exatamente \vec{\nabla}f\cdot\vec{u}+f\,\vec{\nabla}\cdot\vec{u}. Viu como é só aplicar produto e somar componente a componente?

Passo 8

Conclusão: a identidade foi provada componente a componente usando a regra do produto para derivadas parciais. Se as funções forem diferenciáveis, a demonstração é válida ponto a ponto.

Resposta

\vec{\nabla}\cdot(f\vec{u})=\vec{\nabla}f\cdot\vec{u}+f\,\vec{\nabla}\cdot\vec{u}.

Exercícios relacionados