Q3 (4pts) Uma corda é usada para baixar verticalmente um bloco de massa 15 kg , inicialmente em repouso, com uma aceleração de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Após o bloco descer uma distância de 6 m , determine:
(a) O trabalho realizado pela força da corda sobre o bloco.
(b) O trabalho realizado pela força gravitacional sobre o bloco.
(c) A energia cinética do bloco.
(d) A velocidade do bloco.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede quatro coisas:
  • Massa do bloco: \;m=15\\ \mathrm{kg}.
  • Aceleração do bloco, para baixo: \;a=3\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Movimento: o bloco parte do repouso (velocidade inicial \;v_{0}=0) e desce uma distância de \;s=6\\ \mathrm{m} na vertical.
  • Perguntas:
    (a) Qual o trabalho realizado pela força da corda sobre o bloco?
    (b) Qual o trabalho realizado pela força gravitacional sobre o bloco?
    (c) Qual a energia cinética do bloco após descer os \;6\\ \mathrm{m}?
    (d) Qual a velocidade do bloco após descer os \;6\\ \mathrm{m}?
Observação: vou usar g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} para a aceleração da gravidade (valor padrão). Também vou explicitar as fórmulas e o raciocínio passo a passo.

Passo 2

Encontrar a força de tração na corda ( T) usando a segunda lei de Newton. Explicação do método e convenção de sinais:
  • Escolho como sentido positivo o sentido para baixo (porque o bloco desce). Isso simplifica sinais.
  • As forças verticais atuantes são: peso para baixo mg e tração para cima T.
  • A segunda lei diz que a soma das forças resultantes é m a. Com sinais conforme a convenção (para baixo positivo):
mg - T = m a.
  • Isolando T:
T = mg - m a = m(g-a).
Agora substituo os valores e explico cada termo:
  • m é a massa (em \mathrm{kg}),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}),
  • a é a aceleração do bloco ( 3\\ \mathrm{m/s^{2}}).
Cálculo numérico:
T = 15\bigl(9{,}8-3\bigr)=15\cdot 6{,}8=102\\ \mathrm{N}.
Portanto a tração na corda é \;T=102\\ \mathrm{N} (apontando para cima).

Passo 3

Calcular o trabalho realizado pela força da corda. Revisão didática da definição de trabalho:
  • O trabalho realizado por uma força constante \vec{F} durante um deslocamento \vec{s} é
W = \vec{F}\cdot\vec{s} = F\,s\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre a força e o deslocamento.
  • Aqui a tração aponta para cima enquanto o deslocamento é para baixo, portanto o ângulo é \theta=180^\circ e \cos\theta=-1.
  • Assim, para a corda (força de módulo T) o trabalho é
W_{\text{corda}} = -T\,s.
Substituindo T=102\\ \mathrm{N} e s=6\\ \mathrm{m}:
W_{\text{corda}} = -102\cdot 6 = -612\\ \mathrm{J}.
Interpretação: o trabalho da corda é negativo porque a tração se opõe ao movimento.

Passo 4

Calcular o trabalho realizado pela força gravitacional. Explicação:
  • A força peso tem módulo mg e aponta para baixo, mesma direção e sentido do deslocamento (para baixo), então \theta=0^\circ e \cos\theta=1.
  • O trabalho da gravidade é
W_{\text{grav}} = mg\,s.
Substituindo m=15\\ \mathrm{kg}, g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} e s=6\\ \mathrm{m}:
W_{\text{grav}} = 15\cdot 9{,}8\cdot 6 = 882\\ \mathrm{J}.
Interpretação: trabalho positivo porque a gravidade ajuda o movimento descendente.

Passo 5

Usar o teorema trabalho-energia para obter a energia cinética final. Explicação do teorema:
  • O teorema trabalho-energia diz que o trabalho resultante (soma dos trabalhos de todas as forças) é igual à variação da energia cinética:
W_{\text{líquido}} = \Delta K = K_{\text{final}} - K_{\text{inicial}}.í
  • Aqui K_{\text{inicial}}=0 porque o bloco partiu do repouso. Então K_{\text{final}}=W_{\text{líquido}}í.
  • O trabalho resultante é a soma do trabalho da corda e da gravidade:
W_{\text{líquido}} = W_{\text{corda}} + W_{\text{grav}} = -612 + 882 = 270\\ \mathrm{J}.í
Logo a energia cinética final é
K = 270\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Encontrar a velocidade final a partir da energia cinética. Explicação e cálculo:
  • A energia cinética de um corpo de massa m e velocidade v é
K=\tfrac{1}{2} m v^{2}.
  • Isolando v:
v=\sqrt{\dfrac{2K}{m}}.
Substituindo K=270\\ \mathrm{J} e m=15\\ \mathrm{kg}:
v=\sqrt{\dfrac{2\cdot 270}{15}}=\sqrt{\dfrac{540}{15}}=\sqrt{36}=6\\ \mathrm{m/s}.
Verificação alternativa (opcional, mas didática): usando cinemática com v^{2}=v_{0}^{2}+2 a s,
v=\sqrt{0+2\cdot 3\cdot 6}=\sqrt{36}=6\\ \mathrm{m/s},
mesmo resultado — perfeito.

Resposta

(a) -612\\ \mathrm{J}
(b) 882\\ \mathrm{J}
(c) 270\\ \mathrm{J}
(d) 6\\ \mathrm{m/s}

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