Aplique separação de variáveis na equação diferencial parcial (EDP) dada
ux x=ut+(x+t) u
Observe que não é pedida uma solução, apenas a aplicação da separação de variáveis

Passo 1

O enunciado pede para aplicar separação de variáveis na EDP uxx=ut+(x+t)u. O conteúdo é justamente separar as dependências em x e t, e vamos precisar assumir uma forma u(x,t)=X(x),T(t).

Passo 2

Assumimos u(x,t)=X(x)T(t). Então calculamos as derivadas parciais:
  • A segunda derivada em x fica
$$\nu_{xx}=X’’(x),T(t)
nuxx=X''(x),T(t) \nu_{t}=X(x),T’(t)
$$

Passo 3

Substituindo na EDP original temos
X''(x)T(t)=X(x)T'(t)+(x+t)X(x)T(t)

Passo 4

Dividindo ambos os lados por X(x)T(t) obtemos
X''(x)X(x)=T'(t)T(t)+x+t

Passo 5

Reorganizando para isolar termos em x e t de lados opostos:
X''(x)X(x)-x=T'(t)T(t)+t

Passo 6

Como o lado esquerdo depende só de x e o direito só de t, ambos devem igualar uma constante de separação lambda. Assim chegamos ao sistema de ODEs.

Resposta

As equações separadas são:
X''(x)-x,X(x)=lambda,X(x),
T'(t)+t,T(t)=lambda,T(t)

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