Encontre a solução para o seguinte problema de valor de contorno
ux x & =ut t+u, 0 <= x <= 4 ux(0, t) & =ux(4, t)=0 u(x, 0) & =0 ut(x, 0) & =g(x)
onde
g(x)=x(4-x)

Passo 1

Estamos com o problema de valor de contorno para a PDE uxx=utt+u em 0<= x<=4, com condições de Neumann ux(0,t)=ux(4,t)=0 e iniciais u(x,0)=0, ut(x,0)=g(x)=x(4-x). O conteúdo aqui é separação de variáveis em equação de onda com termo de potencial, precisaremos dos modos próprios de Neumann e da expansão em série de cossenos.

Passo 2

Assumimos solução do tipo u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo na PDE e separando variáveis obtemos
X''(x)X(x)=T''(t)+T(t)T(t)=-lambda,
o que leva aos problemas
$$
X’’+\lambda X=0,\quad X’(0)=X’(4)=0,
$$ e
X''+lambda X=0, X'(0)=X'(4)=0,

Passo 3

Para Neumann em [0,4] os autovalores espaciais são
lambdan=l(tfracnpi4r)^2, Xn(x)=cosl(tfracnpi x4r), n=0,1,2,dots e as frequências temporais
omegan=raizlambdan+1=raizl(tfracnpi4r)^2+1,

Passo 4

Logo a solução geral em série de modos é
$$\nu(x,t)=\sum_{n=0}^\infty\bigl[A_n\cos(\omega_n t)+B_n\sin(\omega_n t)\bigr]\cos\Bigl(\tfrac{n\pi x}{4}\Bigr).
$$ Da condição inicial nu(x,t)=sumn=0^inftyl[Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r]cosl(tfracnpi x4r) segue u(x,0)=0 para todo An=0. Do outro lado,
$$\nu_t(x,0)=g(x)=\sum_{n=0}^\infty B_n,\omega_n\cos\Bigl(\tfrac{n\pi x}{4}\Bigr)
$$ e portanto
n onde nut(x,0)=g(x)=sumn=0^infty Bn,omegancosl(tfracnpi x4r) é o coeficiente da série de cossenos de Bn=gnomegan, :
gn com
g(x)

Passo 5

Calculamos primeiro o termo médio n=0:
integral0^4x(4-x)dx=l[2x^2-tfracx^33r]0^4=tfrac323, logo
g0=14cdottfrac323=tfrac83, B0=g0omega0=8/31=tfrac83

Passo 6

Para n>=1 fazemos a integral por partes e obtemos
$$\int_0^4x(4-x)\cos\Bigl(\tfrac{n\pi x}{4}\Bigr)dx=-4\frac{(-1)n+1}{(n\pi/4)2},
$$ que leva a
integral0^4x(4-x)cosl(tfracnpi x4r)dx=-4(-1)^n+1(npi/4)^2, ou seja gn=-32(-1)^n+1n^2pi^2, para gn=0 ímpar e, para n,
n=2k Logo
g2k=-16k^2pi^2

Resposta

u(x,t)=\frac{8}{3},\sin t -\sum_{k=1}\infty\frac{16}{k2\pi2\sqrt{(k\pi/2)2+1}},\sin\bigl(\sqrt{(k\pi/2)^2+1},,t\bigr)\cos\bigl(\tfrac{k\pi x}{2}\bigr).

Exercícios relacionados