Encontre a solução para o seguinte problema de valor de contorno
onde
Passo 1
Estamos com o problema de valor de contorno para a PDE
em
, com condições de Neumann
e iniciais
,
. O conteúdo aqui é separação de variáveis em equação de onda com termo de potencial, precisaremos dos modos próprios de Neumann e da expansão em série de cossenos.
Passo 2
Assumimos solução do tipo
. Substituindo na PDE e separando variáveis obtemos
o que leva aos problemas
$$
X’’+\lambda X=0,\quad X’(0)=X’(4)=0,
$$ e
Passo 3
Para Neumann em
os autovalores espaciais são
Passo 4
Logo a solução geral em série de modos é
$$\nu(x,t)=\sum_{n=0}^\infty\bigl[A_n\cos(\omega_n t)+B_n\sin(\omega_n t)\bigr]\cos\Bigl(\tfrac{n\pi x}{4}\Bigr).
$$ Da condição inicial
segue
para todo
. Do outro lado,
$$\nu_t(x,0)=g(x)=\sum_{n=0}^\infty B_n,\omega_n\cos\Bigl(\tfrac{n\pi x}{4}\Bigr)
$$ e portanto
Passo 5
Calculamos primeiro o termo médio
:
Passo 6
Para
fazemos a integral por partes e obtemos
$$\int_0^4x(4-x)\cos\Bigl(\tfrac{n\pi x}{4}\Bigr)dx=-4\frac{(-1)n+1}{(n\pi/4)2},
$$ que leva a
Resposta
u(x,t)=\frac{8}{3},\sin t -\sum_{k=1}\infty\frac{16}{k2\pi2\sqrt{(k\pi/2)2+1}},\sin\bigl(\sqrt{(k\pi/2)^2+1},,t\bigr)\cos\bigl(\tfrac{k\pi x}{2}\bigr).