Aplique separação de variáveis na equação diferencial parcial (EDP) dada
ux x=ut+2 u
Observe que não é pedida uma solução, apenas a aplicação da separação de variáveis

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método de separação de variáveis na EDP uxx=ut+2u. O conteúdo principal é saber assumir uma solução do tipo produto u(x,t)=X(x),T(t) e separar as variáveis em duas EDOs independentes.

Passo 2

Assumimos u(x,t)=X(x),T(t). Então
uxx=X''(x),T(t), ut=X(x),T'(t)

Passo 3

Substituímos essas expressões na EDP:
X''(x),T(t)=X(x),T'(t)+2,X(x),T(t)

Passo 4

Dividimos ambos os lados por X(x),T(t), obtendo
X''(x)X(x)=T'(t)T(t)+2

Passo 5

Perceba que o membro esquerdo depende só de x e o direito só de t. Logo, ambos devem ser iguais a uma constante de separação lambda. Isso nos dá as EDOs separadas:
X''(x)X(x)=lambdaLongrightarrow X''(x)-lambda,X(x)=0,
T'(t)T(t)+2=lambdaLongrightarrow T'(t)-l(lambda-2r)T(t)=0

Resposta

As equações separadas ficam:
X''(x)-lambda,X(x)=0,
T'(t)-l(lambda-2r),T(t)=0,
com u(x,t)=X(x),T(t) e lambda constante de separação.

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