Aplique series de potências à seguinte equação:
y^prime prime+(x^2-1) y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y''+(x^2-1)y=0
usando séries de potências em torno de 0. Isso é conteúdo de métodos de séries de potências para EDOs de segunda ordem, em que assumimos uma solução da forma
y(x)=sumn=0^inftyan x^n
com constantes an a determinar.

Passo 2

Começamos assumindo
y(x)=sumn=0^inftyan x^n,
logo as derivadas são
y'(x)=sumn=1^inftyn,an x^n-1 = sumn=0^infty(n+1)an+1x^n,
y''(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n

Passo 3

Agora escrevemos
(x^2-1)y = x^2sumn=0^inftyan x^n - sumn=0^inftyan x^n = sumn=2^inftyan-2x^n - sumn=0^inftyan x^n
Substituindo em y''+(x^2-1)y=0 e juntando séries em x^n obtemos
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1)an+2 + an-2 - anr]x^n = 0,
onde por convenção a-1=a-2=0.

Passo 4

Para cada n>=0 o coeficiente de x^n deve zerar, dando a relação de recorrência
(n+2)(n+1)an+2 + an-2 - an = 0 Longrightarrow an+2 = an - an-2(n+2)(n+1)

Passo 5

As constantes iniciais a0 e a1 são independentes (são os parâmetros da solução geral). Para n=0 temos
2cdot1,a2 - a0 = 0implies a2 = a02,
e para n=1
$$3\cdot2,a_3 - a_1 = 0\implies a_3 = \frac{a_1}{6}.
$$

Passo 6

Separando termos pares e ímpares, construímos as duas soluções independentes:
Solução par ( a0neq0,,a1=0):
y1(x)=a0l(1+x^22-x^424+cdotsr),
e solução ímpar ( a1neq0,,a0=0):
$$y_2(x)=a_1\Bigl(x+\frac{x3}{6}-\frac{x5}{120}+\cdots\Bigr).
$$

Passo 7

A solução geral é combinação linear dessas duas séries:
y(x)=C1l(1+x^22-x^424+cdotsr) + C2l(x+x^36-x^5120+cdotsr)

Resposta

Recorrência: an+2 = dfracan - an-2(n+2)(n+1). Solução geral:
y(x)=C1l(1+tfracx^22-tfracx^424+cdotsr)+C2l(x+tfracx^36-tfracx^5120+cdotsr)

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