Aplique series de potências à seguinte equação:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
usando séries de potências em torno de 0. Isso é conteúdo de métodos de séries de potências para EDOs de segunda ordem, em que assumimos uma solução da forma
com constantes
a determinar.
Passo 2
Começamos assumindo
logo as derivadas são
Passo 3
Agora escrevemos
Substituindo em
onde por convenção
.
Passo 4
Para cada
o coeficiente de
deve zerar, dando a relação de recorrência
Passo 5
As constantes iniciais
e
são independentes (são os parâmetros da solução geral). Para
temos
e para
$$3\cdot2,a_3 - a_1 = 0\implies a_3 = \frac{a_1}{6}.
$$
Passo 6
Separando termos pares e ímpares, construímos as duas soluções independentes:
Solução par ( ):
Solução par (
e solução ímpar (
$$y_2(x)=a_1\Bigl(x+\frac{x3}{6}-\frac{x5}{120}+\cdots\Bigr).
$$
Passo 7
A solução geral é combinação linear dessas duas séries:
Resposta
Recorrência:
. Solução geral: