Aplique o método das séries de potências para resolver:
y^prime prime prime-x y^prime+y=0

Passo 1

A equação de interesse é \ y’’’ - x,y’ + y = 0. O conteúdo aqui é o método de séries de potências (também chamado de método de Frobenius para centro em zero), e vamos precisar supor uma solução da forma \ y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n, calcular as derivadas em série e igualar coeficientes de potências de x para achar uma relação de recorrência entre os coeficientes a_n.

Passo 2

Assumimos \ y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n. Então as derivadas são: \ y’(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n,a_n x^{n-1}, \ y’’’(x)=\sum_{n=3}^{\infty}n(n-1)(n-2)a_n x^{n-3}. Além disso, \ x,y’(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n,a_n x^n. Prepararemos todas para alinhar em potências x^m.

Passo 3

Reescrevendo tudo com o mesmo índice m começando em zero, temos: \ y’’’=\sum_{m=0}{\infty}(m+3)(m+2)(m+1)a_{m+3}xm, \ x,y’=\sum_{m=1}^{\infty}m,a_m x^m, \ y=\sum_{m=0}^{\infty}a_m x^m. Substituindo na EDO: \ \sum_{m=0}{\infty}(m+3)(m+2)(m+1)a_{m+3}xm - \sum_{m=1}^{\infty}m,a_m x^m + \sum_{m=0}^{\infty}a_m x^m = 0.

Passo 4

Para igualar coeficientes de x^m, separamos o caso m=0 e m\ge1. Para m=0 obtemos 6a_3 + a_0=0, ou seja: \ a_3=-\frac{a_0}{6}. Para m\ge1 o coeficiente de x^m deve ser nulo: \ (m+3)(m+2)(m+1)a_{m+3} - m,a_m + a_m = 0 \ \implies (m+3)(m+2)(m+1)a_{m+3} + (1-m)a_m=0.

Passo 5

Isolando a_{m+3}, achamos a relação de recorrência geral: \ a_{m+3}=\frac{m-1}{(m+3)(m+2)(m+1)},a_m, \quad m\ge1. Com ela, podemos gerar todos os coeficientes a_3,a_4,a_5,\dots a partir de a_0,a_1,a_2.

Passo 6

Explicitando alguns termos iniciais: para m=1, a_4=0; para m=2, a_5=\tfrac{1}{60}a_2; e em geral cada a_{m+3} é dado pela fórmula acima. As três constantes livres a_0,a_1,a_2 geram três soluções independentes em série.

Passo 7

Portanto, a solução geral em série de potências é \ y(x)=a_0,y_1(x)+a_1,y_2(x)+a_2,y_3(x), \ onde cada y_i(x) é a série obtida escolhendo uma das constantes iguais a 1 e as demais zero.

Passo 8

Em particular, as três soluções fundamentais começam assim: \ y_1(x)=1-\frac{x^3}{6}+\cdots, \ y_2(x)=x+\cdots, \ y_3(x)=x2+\frac{x5}{60}+\cdots, \ e a recorrência completa é \ a_{m+3}=\frac{m-1}{(m+3)(m+2)(m+1)}a_m.

Resposta

A solução geral da EDO em séries de potências é
\
\displaystyle y(x)=a_0\Bigl(1-\tfrac{x3}{6}+\cdots\Bigr)+a_1\Bigl(x+\cdots\Bigr)+a_2\Bigl(x2+\tfrac{x^5}{60}+\cdots\Bigr),
\
onde os coeficientes satisfaçam a recorrência
\
\displaystyle a_{m+3}=\frac{m-1}{(m+3)(m+2)(m+1)},a_m,
\quad m\ge1,
\
com a_3=-a_0/6, a_4=0, a_5=a_2/60, e assim por diante.

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