Resolva a equação:
y^(4)-5 y^(3)+8 y^prime prime-4 y=0

Passo 1

Temos uma equação diferencial linear de ordem quatro com coeficientes constantes: y^{(4)} - 5y^{(3)} + 8y’’ - 4y = 0. Vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Assumimos solução do tipo y = e^{rx}. Substituindo na EDO, obtemos o polinômio característico
r^4 - 5r^3 + 8r^2 - 4 = 0

Passo 3

Testamos uma raiz racional por teste de raízes de RRT. Para r = 1: 1 - 5 + 8 - 4 = 0, logo r_1 = 1 é raiz simples.

Passo 4

Dividimos o polinômio original por (r - 1) usando divisão sintética, obtendo o polinômio cúbico
r^3 - 4r^2 + 4r + 4 = 0

Passo 5

Aplicamos a fórmula de Cardano ao cúbico r^3 - 4r^2 + 4r + 4 = 0. Fazendo o deslocamento r = u + \tfrac{4}{3}, chegamos ao cúbico deprimido
u^3 - tfrac43u + tfrac12427 = 0
cuja discriminante é positiva, produzindo uma raiz real
u1 = raiz[3]-tfrac6227 + tfrac2raiz1059 + raiz[3]-tfrac6227 - tfrac2raiz1059,
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r2 = nu1 + tfrac43

Passo 6

As outras duas raízes complexas vêm das outras combinações de raízes cubicas de Cardano. Em forma fechada são
r3,4 = 43 - 12l(raiz[3]-tfrac6227 + tfrac2raiz1059 + raiz[3]-tfrac6227 - tfrac2raiz1059r) pm i,raiz32l(raiz[3]-tfrac6227 + tfrac2raiz1059 - raiz[3]-tfrac6227 - tfrac2raiz1059r)

Passo 7

Com as quatro raízes r_1=1, r_2, r_3, r_4, a solução geral da EDO é
y(x)=C1e^r1x+C2e^r2x+C3e^r3x+C4e^r4x,
onde C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e{x}+C_{2}e{r_{2}x}+C_{3}e{r_{3}x}+C_{4}e{r_{4}x}, onde r_{2},r_{3},r_{4} são as raízes da equação cúbica r{3}-4r{2}+4r+4=0 dadas pelas fórmulas de Cardano acima.

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