Resolva a seguinte equação diferencial:
y^(4)-2 y^prime prime=3 e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
y^(4) - 2 y^prime prime = 3 e^x
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de ordem 4 com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é feita igualando o lado direito a zero:
y^(4) - 2 y^prime prime = 0
Para resolver essa equação, usamos o método dos coeficientes constantes. Assumimos que a solução tem a forma y = e^r x, onde r é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo y = e^r x na equação homogênea:
y^(4) = r^4 e^r x y^prime prime = r^2 e^r x
Substituindo na equação:
r^4 e^r x - 2 r^2 e^r x = 0 e^r x (r^4 - 2 r^2) = 0
Como e^r x neq 0, temos:
r^4 - 2 r^2 = 0 r^2 (r^2 - 2) = 0

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
r^2 = 0 ou r^2 - 2 = 0 Rightarrow r = 0 (com mu

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 + C2 x + C3 e^raiz2 x + C4 e^-raiz2 x
Onde C1, C2, C3 e C4 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação completa:
y^(4) - 2 y^prime prime = 3 e^x
Como o termo do lado direito é 3 e^x, tentamos uma solução particular da forma:
yp = A e^x
Onde A é uma constante que vamos determinar.

Passo 7

Calculando as derivadas necessárias:
yp^prime prime = A e^x yp^(4) = A e^x
Substituindo na equação diferencial:
A e^x - 2 (A e^x) = 3 e^x A e^x - 2 A e^x = 3 e^x - A e^x = 3 e^x

Passo 8

Resolvendo para A:
- A e^x = 3 e^x - A = 3 A = -3
Portanto, a solução particular é:
yp = -3 e^x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 + C2 x + C3 e^raiz2 x + C4 e^-raiz2 x - 3 e^x
Onde C1, C2, C3 e C4 são constantes arbitrárias.

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