Resolva a seguinte equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de ordem 4 com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é feita igualando o lado direito a zero:
Para resolver essa equação, usamos o método dos coeficientes constantes. Assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Substituindo na equação:
Como
, temos:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
,
,
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o termo do lado direito é
, tentamos uma solução particular da forma:
Onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 7
Calculando as derivadas necessárias:
Substituindo na equação diferencial:
Passo 8
Resolvendo para
:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
,
,
e
são constantes arbitrárias.