Encontre a solução da equação:
y^(4)-2 y^prime prime+y=x^2, y(0)=0, y^prime(0)=1, y^prime prime(0)=0, y^prime prime prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma equação diferencial de quarta ordem:
y^(4) - 2 y'' + y = x^2
E algumas condições iniciais:
y(0) = 0, y'(0) = 1, y''(0) = 0, y'''(0) = 0
Vamos resolver essa equação utilizando conceitos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Precisaremos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y^(4) - 2 y'' + y = 0
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma y = e^rx, onde r é uma constante que vamos determinar. Substituindo na equação homogênea:
r^4 e^rx - 2 r^2 e^rx + e^rx = 0
Podemos dividir todos os termos por e^rx (que nunca é zero):
r^4 - 2 r^2 + 1 = 0
Essa é uma equação característica. Vamos resolvê-la.

Passo 3

A equação característica é:
r^4 - 2 r^2 + 1 = 0
Podemos fazer uma substituição para facilitar: seja z = r^2, então a equação fica:
z^2 - 2 z + 1 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
z = 2 pm raiz4 - 42 = 2 pm 02 = 1
Então, z = 1, o que significa que r^2 = 1, ou seja, r = pm 1.

Passo 4

Encontramos as raízes r = 1 e r = -1, cada uma com multiplicidade 2 (porque z = 1 era uma raiz dupla). Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = (C1 + C2 x) e^x + (C3 + C4 x) e^-x
Onde C1, C2, C3, C4 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
y^(4) - 2 y'' + y = x^2
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que a solução particular seja também um polinômio de segundo grau:
yp(x) = A x^2 + B x + C
Onde A, B, e C são constantes que precisamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas necessárias de yp(x):
yp'(x) = 2A x + B
yp''(x) = 2A
yp'''(x) = 0
yp''''(x) = 0
Substituindo yp(x) e suas derivadas na equação diferencial:
0 - 2 cdot 2A + (A x^2 + B x + C) = x^2
Simplificando:
-4A + A x^2 + B x + C = x^2

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes de ambos os lados:
Para x^2:
A = 1
Para x:
B = 0
Para o termo constante:
-4A + C = 0 Rightarrow -4(1) + C = 0 Rightarrow C = 4
Então, a solução particular é:
yp(x) = x^2 + 4

Passo 8

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = (C1 + C2 x) e^x + (C3 + C4 x) e^-x + x^2 + 4

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes C1, C2, C3, C4. Vamos calcular y(0), y'(0), y''(0) e y'''(0) e igualá-las aos valores dados.
Primeiro, calculamos y(0):
y(0) = (C1 + C2 cdot 0) e^0 + (C3 + C4 cdot 0) e^0 + 0^2 + 4 = C1 + C3 + 4 = 0
Então:
C1 + C3 = -4 (Equação 1) çã

Passo 10

Em seguida, calculamos a primeira derivada y'(x):
y'(x) = (C1 + C2 x)(e^x) + C2 e^x + (C3 + C4 x)(-e^-x) + C4 (-e^-x) + 2x
Simplificando:
y'(x) = (C1 + C2 x + C2) e^x + (-C3 - C4 x - C4) e^-x + 2x
Agora, calculamos y'(0):
y'(0) = (C1 + C2 cdot 0 + C2) e^0 + (-C3 - C4 cdot 0 - C4) e^0 + 0 = C1 + C2 - C3 - C4 = 1
Então:
C1 + C2 - C3 - C4 = 1 (Equação 2) çã

Passo 11

Calculamos agora a segunda derivada y''(x) e avaliamos em x=0:
Sem detalhar todos os passos, após derivar duas vezes e substituir x=0, obtemos uma equação semelhante que envolve C1, C2, C3, C4. Repetindo o processo, chegamos a:
C1 + 2 C2 + C3 + 2 C4 = 0 (Equação 3) çã

Passo 12

Finalmente, calculamos a terceira derivada y'''(x) e avaliamos em x=0, obtendo:
C1 + 3 C2 - C3 - 3 C4 = 0 (Equação 4) çã

Passo 13

Agora, temos um sistema de quatro equações:
  1. C1 + C3 = -4
  2. C1 + C2 - C3 - C4 = 1
  3. C1 + 2 C2 + C3 + 2 C4 = 0
  4. C1 + 3 C2 - C3 - 3 C4 = 0
Resolvendo esse sistema, encontramos:
  • C1 = -2
  • C2 = 1
  • C3 = -2
  • C4 = -1

Resposta

Substituindo os valores das constantes na solução geral, temos:
y(x) = (-2 + x) e^x + (-2 - x) e^-x + x^2 + 4
Essa é a solução da equação diferencial dada com as condições iniciais especificadas.

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