Encontre a solução da equação:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma equação diferencial de quarta ordem:
E algumas condições iniciais:
Vamos resolver essa equação utilizando conceitos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Precisaremos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que vamos determinar. Substituindo na equação homogênea:
Podemos dividir todos os termos por
(que nunca é zero):
Essa é uma equação característica. Vamos resolvê-la.
Passo 3
A equação característica é:
Podemos fazer uma substituição para facilitar: seja
, então a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então,
, o que significa que
, ou seja,
.
Passo 4
Encontramos as raízes
e
, cada uma com multiplicidade 2 (porque
era uma raiz dupla). Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que a solução particular seja também um polinômio de segundo grau:
Onde
,
, e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas necessárias de
:
Substituindo
e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes de ambos os lados:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Então, a solução particular é:
Passo 8
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes
. Vamos calcular
,
,
e
e igualá-las aos valores dados.
Primeiro, calculamos
:
Então:
Passo 10
Em seguida, calculamos a primeira derivada
:
Simplificando:
Agora, calculamos
:
Então:
Passo 11
Calculamos agora a segunda derivada
e avaliamos em
:
Sem detalhar todos os passos, após derivar duas vezes e substituir
, obtemos uma equação semelhante que envolve
. Repetindo o processo, chegamos a:
Passo 12
Finalmente, calculamos a terceira derivada
e avaliamos em
, obtendo:
Passo 13
Agora, temos um sistema de quatro equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
Resposta
Substituindo os valores das constantes na solução geral, temos:
Essa é a solução da equação diferencial dada com as condições iniciais especificadas.