- Aplique o teorema de Cauchy nas funções a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o Teorema Integral de Cauchy à função
. Vamos usar o conteúdo de funções analíticas, polos simples e o Cálculo de Resíduos para avaliar integrais de contorno.
Passo 2
Primeiro, identificamos que
não é analítica em
e
, pois ali ela tem polos simples. Em qualquer região cujo contorno não envolva esses pontos, a integral de
será zero, mas se o contorno envolver um ou ambos, precisamos usar resíduos.
Passo 3
Fazendo a decomposição em frações parciais, escrevemos
Para achar
e
, igualamos numeradores:
. Em
vem
logo
. Em
vem
. Assim
Passo 4
Os coeficientes
e
são exatamente os resíduos de
em
e
, respectivamente. Pelo Teorema dos Resíduos (que é uma extensão do Teorema Integral de Cauchy), a integral em um contorno
é
Passo 5
Logo, dependendo do contorno, temos três casos:
- Se
não envolve nem , a soma dos resíduos é zero e então
- Se
envolve apenas , então só há o resíduo e
- Se
envolve apenas , então só há o resíduo e
- Se
envolve tanto quanto , os resíduos se cancelam ( ) e
Resposta
Dependendo das singularidades dentro de C:
– Nenhuma (1,2 fora): 0
– Só z=1: –2πi
– Só z=2: 2πi
– Ambas: 0
– Nenhuma (1,2 fora): 0
– Só z=1: –2πi
– Só z=2: 2πi
– Ambas: 0