1. Aplique o teorema de Cauchy nas funções a seguir: f(z) = 1(z-1)(z-2).

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teorema Integral de Cauchy à função f(z)=1(z-1)(z-2). Vamos usar o conteúdo de funções analíticas, polos simples e o Cálculo de Resíduos para avaliar integrais de contorno.

Passo 2

Primeiro, identificamos que f(z) não é analítica em z=1 e z=2, pois ali ela tem polos simples. Em qualquer região cujo contorno não envolva esses pontos, a integral de f será zero, mas se o contorno envolver um ou ambos, precisamos usar resíduos.

Passo 3

Fazendo a decomposição em frações parciais, escrevemos
1(z-1)(z-2)= Az-1+ Bz-2
Para achar A e B, igualamos numeradores: A(z-2)+B(z-1)=1. Em z=1 vem -A=1 logo A=-1. Em z=2 vem B=1. Assim
f(z)=1(z-2)-1(z-1)

Passo 4

Os coeficientes -1 e 1 são exatamente os resíduos de f em z=1 e z=2, respectivamente. Pelo Teorema dos Resíduos (que é uma extensão do Teorema Integral de Cauchy), a integral em um contorno C é
ointCf(z),dz=2pi isumpólos dentro de CRes(f) ó

Passo 5

Logo, dependendo do contorno, temos três casos:
  • Se C não envolve 1 nem 2, a soma dos resíduos é zero e então
ointCf(z),dz=0
  • Se C envolve apenas z=1, então só há o resíduo -1 e
ointCf(z),dz=2pi i(-1)=-2pi i
  • Se C envolve apenas z=2, então só há o resíduo +1 e
ointCf(z),dz=2pi i(1)=2pi i
  • Se C envolve tanto 1 quanto 2, os resíduos se cancelam ( -1+1=0) e
ointCf(z),dz=0

Resposta

Dependendo das singularidades dentro de C:
– Nenhuma (1,2 fora): 0
– Só z=1: –2πi
– Só z=2: 2πi
– Ambas: 0

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