Considere a função f(x)=x^2-9x^2-x-6. Explique o significado geométrico da existência do limite na letra b).

Passo 1

Vamos analisar a função f(x)=x^2-9x^2-x-6 no contexto de limites e continuidade, em especial o limite em um ponto de descontinuidade removível.

Passo 2

Primeiro, fatoramos numerador e denominador: x^2-9=(x-3)(x+3) e x^2-x-6=(x-3)(x+2). Para xneq3 podemos simplificar
f(x)=(x-3)(x+3)(x-3)(x+2)=x+3x+2(xneq3)

Passo 3

Assim, ao calcular limxto3f(x) usamos a forma simplificada e obtemos
limxto3f(x)=3+33+2=65

Passo 4

Geometricamente, isso significa que, embora f(3) não esteja definida (denominador zero), ao aproximarmos x de 3 pelos dois lados o gráfico de f tende ao ponto (3,tfrac65). Em outras palavras, há um “furo” no gráfico em x=3, mas as coordenadas desse furo são bem definidas pelo valor do limite, caracterizando uma descontinuidade removível.

Resposta

A existência do limite limxto3f(x)=6/5 significa que o gráfico de f se aproxima do ponto (3, 6/5) pelos dois lados, embora a função não esteja definida em x=3 — há um “furo” (descontinuidade removível) exatamente em (3, 6/5).

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