Aplique o teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que
se o caminho
for o círculo unitário
, com qualquer orientação, e sendo
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde precisamos mostrar que a integral de uma função $ f(z) = \frac{1}{z^{2} + 2z + 2} $ ao longo de um caminho $ C $, que é o círculo unitário $ |z| = 1 $, é igual a zero. Para isso, vamos usar o Teorema de Cauchy-Goursat, que é uma ferramenta poderosa na análise de funções complexas. Vamos precisar entender onde a função $ f(z) $ tem pontos problemáticos (singularidades) e se esses pontos estão dentro ou fora do caminho $ C $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema de Cauchy-Goursat. Basicamente, ele afirma que se uma função $ f(z) $ é analítica (ou seja, diferenciável) em toda região dentro e sobre uma curva fechada simples $ C $, então a integral de $ f(z) $ ao longo de $ C $ é zero:
Isso significa que, se não tiver nenhum “probleminha” dentro do caminho $ C $, a integral vai dar zero.
Passo 3
Agora, vamos identificar as singularidades da nossa função $ f(z) = \frac{1}{z^{2} + 2z + 2} $. Singularidades são os pontos onde a função não é analítica, ou seja, onde o denominador é zero:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as singularidades estão em $ z = -1 + i $ e $ z = -1 - i $.
Passo 4
Vamos verificar se essas singularidades estão dentro ou fora do círculo unitário $ |z| = 1 $. Calculamos o módulo de cada singularidade:
Como $ \sqrt{2} > 1 $, ambas as singularidades estão fora do círculo $ |z| = 1 $.
Passo 5
Como não há singularidades dentro do caminho $ C $, a função $ f(z) $ é analítica em toda a região dentro e sobre $ C $. Portanto, pelo Teorema de Cauchy-Goursat, a integral de $ f(z) $ ao longo de $ C $ é zero.
Resposta
A integral
é igual a 0.