Aplique o teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que
integralC f(z) d z=0
se o caminho C for o círculo unitário |z|=1, com qualquer orientação, e sendo
f(z)=1z^2+2 z+2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde precisamos mostrar que a integral de uma função $ f(z) = \frac{1}{z^{2} + 2z + 2} $ ao longo de um caminho $ C $, que é o círculo unitário $ |z| = 1 $, é igual a zero. Para isso, vamos usar o Teorema de Cauchy-Goursat, que é uma ferramenta poderosa na análise de funções complexas. Vamos precisar entender onde a função $ f(z) $ tem pontos problemáticos (singularidades) e se esses pontos estão dentro ou fora do caminho $ C $.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema de Cauchy-Goursat. Basicamente, ele afirma que se uma função $ f(z) $ é analítica (ou seja, diferenciável) em toda região dentro e sobre uma curva fechada simples $ C $, então a integral de $ f(z) $ ao longo de $ C $ é zero:
f(z)
Isso significa que, se não tiver nenhum “probleminha” dentro do caminho $ C $, a integral vai dar zero.

Passo 3

Agora, vamos identificar as singularidades da nossa função $ f(z) = \frac{1}{z^{2} + 2z + 2} $. Singularidades são os pontos onde a função não é analítica, ou seja, onde o denominador é zero:
f(z) = 1z^2 + 2z + 2
Resolvendo essa equação quadrática:
z^2 + 2z + 2 = 0
Então, as singularidades estão em $ z = -1 + i $ e $ z = -1 - i $.

Passo 4

Vamos verificar se essas singularidades estão dentro ou fora do círculo unitário $ |z| = 1 $. Calculamos o módulo de cada singularidade:
|z| = 1
| -1 + i | = raiz(-1)^2 + (1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2 approx 1,414
Como $ \sqrt{2} > 1 $, ambas as singularidades estão fora do círculo $ |z| = 1 $.

Passo 5

Como não há singularidades dentro do caminho $ C $, a função $ f(z) $ é analítica em toda a região dentro e sobre $ C $. Portanto, pelo Teorema de Cauchy-Goursat, a integral de $ f(z) $ ao longo de $ C $ é zero.

Resposta

A integral integralC 1z^2 + 2z + 2 , dz é igual a 0.

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