Aplique o teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que
integralC f(z) d z=0
se o caminho C for o círculo unitário |z|=1, com qualquer orientação, e sendo
f(z)=z e^-z;

Passo 1

A questão pede para mostrar que integralC f(z),dz=0 sendo C o círculo unitário |z|=1 (qualquer orientação) e f(z)=z e^-z. O conteúdo envolvido é o Teorema de Cauchy–Goursat, que exige verificar que f é holomorfa na região interior e na fronteira do caminho.

Passo 2

Vamos analisar a função f(z)=z e^-z. Sabemos que e^-z é inteira (holomorfa em C) e z também é inteira, logo o produto de duas funções inteiras é inteiro. Portanto, f(z) é holomorfa em todo o plano complexo.

Passo 3

O círculo unitário C: |z|=1 é a fronteira de um disco que é uma região simplesmente conexa. Como f é holomorfa em toda essa região (inclusive na fronteira), todos os hipóteses do Teorema de Cauchy–Goursat estão satisfeitos.

Passo 4

Pelo Teorema de Cauchy–Goursat, a integral de uma função holomorfa numa curva fechada em uma região simplesmente conexa é zero. Assim, concluímos:
$$\int_{C} z e^{-z} ,dz = 0
$$

Resposta

0

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