Aplique o teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que
se o caminho
for o círculo unitário
, com qualquer orientação, e sendo
;
Passo 1
A questão pede para mostrar que
sendo
o círculo unitário
(qualquer orientação) e
. O conteúdo envolvido é o Teorema de Cauchy–Goursat, que exige verificar que
é holomorfa na região interior e na fronteira do caminho.
Passo 2
Vamos analisar a função
. Sabemos que
é inteira (holomorfa em
) e
também é inteira, logo o produto de duas funções inteiras é inteiro. Portanto,
é holomorfa em todo o plano complexo.
Passo 3
O círculo unitário
é a fronteira de um disco que é uma região simplesmente conexa. Como
é holomorfa em toda essa região (inclusive na fronteira), todos os hipóteses do Teorema de Cauchy–Goursat estão satisfeitos.
Passo 4
Pelo Teorema de Cauchy–Goursat, a integral de uma função holomorfa numa curva fechada em uma região simplesmente conexa é zero. Assim, concluímos:
$$\int_{C} z e^{-z} ,dz = 0
$$