Utilizando os axiomas que definem o conjunto dos números reais,
, faça o que se pede nos itens seguintes:
Se
, então
? Por quê?
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando: “Se $ a \times b = a \times c $, então $ b = c $? Por quê?” A matéria envolvida aqui é os axiomas dos números reais, especificamente relacionados à propriedade cancelativa na multiplicação. Para resolver isso, vamos precisar entender como os axiomas funcionam e quando podemos cancelar termos em uma equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os axiomas dos números reais são regras básicas que definem como os números se comportam. Um deles é a propriedade distributiva, mas o que realmente importa aqui é a propriedade cancelativa.
Passo 3
A propriedade cancelativa na multiplicação diz que se $ a \times b = a \times c $ e $ a \neq 0 $, então podemos dividir ambos os lados da equação por $ a $ para isolar $ b $ e $ c $. Matematicamente, isso fica assim:
Isso funciona porque estamos assumindo que $ a $ não é zero, então dividir por $ a $ é permitido.
Passo 4
Mas e se $ a = 0 $? Se substituirmos na equação original:
Isso é sempre verdadeiro, independente dos valores de $ b $ e $ c $. Ou seja, se $ a = 0 $, a equação não nos dá nenhuma informação sobre $ b $ e $ c $. Eles podem ser iguais ou diferentes, e a igualdade ainda será verdadeira.
Passo 5
Então, a conclusão é que somente quando $ a \neq 0 $ podemos afirmar que $ b = c $ a partir da equação $ a \times b = a \times c $. Se $ a = 0 $, não podemos fazer essa afirmação.
Resposta
Portanto, se $ a \neq 0 $, então $ b = c $ devido à propriedade cancelativa dos números reais. Porém, se $ a = 0 $, não podemos concluir que $ b = c $.