Utilizando os axiomas que definem o conjunto dos números reais,
, faça o que se pede nos itens seguintes:
Mostre que
, para todos os
Mostre que
Passo 1
Resumo: O enunciado pede para mostrar que
em
, usando os axiomas de campo (inverso multiplicativo, identidade, comutatividade e associatividade). Vamos precisar da definição de divisão como multiplicação pelo inverso e da propriedade do inverso de um produto.
Passo 2
Pela definição de divisão em um corpo, escrevemos
Aqui usamos que
.
Passo 3
Em um corpo, o inverso de um produto é o produto dos inversos. Como
e
, temos inversos
e
e
Passo 4
Substituindo essa expressão na divisão e usando comutatividade e associatividade da multiplicação,
Passo 5
Como
(inverso multiplicativo) e
, resta
Portanto concluímos que
.