Aplique o teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que
se o caminho
for o círculo unitário
, com qualquer orientação, e sendo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que usar o Teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que a integral de $ f(z) = \tan z $ ao longo de um caminho $ C $, que é o círculo unitário $ |z| = 1 $, resulta em zero. Então, o conteúdo aqui envolve análise complexa, especificamente sobre funções analíticas e integrais de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função analítica. Uma função $ f(z) $ é analítica em uma região se ela é diferenciável em todos os pontos dessa região. O Teorema de Cauchy-Goursat nos diz que se $ f(z) $ é analítica dentro e sobre um caminho fechado $ C $, então:
Então, precisamos verificar se $ f(z) = \tan z $ é analítica no interior e na borda do círculo unitário $ |z| = 1 $.
Passo 3
Sabemos que $ \tan z = \frac{\sin z}{\cos z} $. As funções seno e cosseno são analíticas em todo o plano complexo, mas a tangente $ \tan z $ tem singularidades onde $ \cos z = 0 $, ou seja, onde $ z = \frac{\pi}{2} + n\pi $ para todo inteiro $ n $.
Passo 4
Vamos verificar se alguma dessas singularidades está dentro do nosso caminho $ C $. Calculando $ |z| $ dessas singularidades:
Como nosso caminho é o círculo unitário $ |z| = 1 $, todas as singularidades de $ \tan z $ estão fora desse círculo. Portanto, $ f(z) = \tan z $ é analítica dentro e sobre $ C $.
Passo 5
Aplicando o Teorema de Cauchy-Goursat, já que $ f(z) $ é analítica no domínio considerado, temos que: