Aplique o teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que
integralC f(z) d z=0
se o caminho C for o círculo unitário |z|=1, com qualquer orientação, e sendo
f(z)=tg z ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que usar o Teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que a integral de $ f(z) = \tan z $ ao longo de um caminho $ C $, que é o círculo unitário $ |z| = 1 $, resulta em zero. Então, o conteúdo aqui envolve análise complexa, especificamente sobre funções analíticas e integrais de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função analítica. Uma função $ f(z) $ é analítica em uma região se ela é diferenciável em todos os pontos dessa região. O Teorema de Cauchy-Goursat nos diz que se $ f(z) $ é analítica dentro e sobre um caminho fechado $ C $, então:
f(z)
Então, precisamos verificar se $ f(z) = \tan z $ é analítica no interior e na borda do círculo unitário $ |z| = 1 $.

Passo 3

Sabemos que $ \tan z = \frac{\sin z}{\cos z} $. As funções seno e cosseno são analíticas em todo o plano complexo, mas a tangente $ \tan z $ tem singularidades onde $ \cos z = 0 $, ou seja, onde $ z = \frac{\pi}{2} + n\pi $ para todo inteiro $ n $.

Passo 4

Vamos verificar se alguma dessas singularidades está dentro do nosso caminho $ C $. Calculando $ |z| $ dessas singularidades:
C
Como nosso caminho é o círculo unitário $ |z| = 1 $, todas as singularidades de $ \tan z $ estão fora desse círculo. Portanto, $ f(z) = \tan z $ é analítica dentro e sobre $ C $.

Passo 5

Aplicando o Teorema de Cauchy-Goursat, já que $ f(z) $ é analítica no domínio considerado, temos que:
f(z)

Resposta

integralC tan z , dz = 0

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