Utilizando os axiomas que definem o conjunto dos números reais,
, faça o que se pede nos itens seguintes:
Mostre que
, para todos os
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede pra gente usar os axiomas de corpo (no nosso caso, de
) pra mostrar que o inverso multiplicativo de
é
, sabendo que
. Vamos precisar da definição de divisão via inverso e da propriedade do inverso de um produto.
Passo 2
Em um corpo, divisão é definida como multiplicação pelo inverso. Ou seja, para
temos
Isso vem direto do axioma que garante a existência de
tal que
.
Passo 3
Outra propriedade de campo é que o inverso de um produto se inverte a ordem dos fatores, isto é, para quaisquer
A demonstração vem de verificar que
, e pela unicidade do inverso concluímos a igualdade.
Passo 4
Agora aplicamos essa propriedade ao caso
e
. Como
, temos
Pelo axioma que diz que o inverso do inverso é o próprio elemento,
, e ainda
. Logo
Passo 5
Isso demonstra exatamente que para todos
vale $(c/d)^{-1}=d/c.