Utilizando os axiomas que definem o conjunto dos números reais,
R, faça o que se pede nos itens seguintes:
Mostre que c, d neq 0, para todos os

Passo 1

O enunciado pede pra gente usar os axiomas de corpo (no nosso caso, de R) pra mostrar que o inverso multiplicativo de c/d é d/c, sabendo que c,dneq0. Vamos precisar da definição de divisão via inverso e da propriedade do inverso de um produto.

Passo 2

Em um corpo, divisão é definida como multiplicação pelo inverso. Ou seja, para dneq0 temos
cd=ccdot d^-1
Isso vem direto do axioma que garante a existência de d^-1 tal que dcdot d^-1=1.

Passo 3

Outra propriedade de campo é que o inverso de um produto se inverte a ordem dos fatores, isto é, para quaisquer x,yneq0
(xcdot y)^-1=y^-1cdot x^-1
A demonstração vem de verificar que (xcdot y),(y^-1,x^-1)=x,(y,y^-1),x^-1=x,1,x^-1=1, e pela unicidade do inverso concluímos a igualdade.

Passo 4

Agora aplicamos essa propriedade ao caso x=c e y=d^-1. Como c/d=ccdot d^-1, temos
l(ccdot d^-1r)^-1=(d^-1)^-1cdot c^-1
Pelo axioma que diz que o inverso do inverso é o próprio elemento, (d^-1)^-1=d, e ainda c^-1=1/c. Logo
l(c/dr)^-1=dcdot c^-1=d/c

Passo 5

Isso demonstra exatamente que para todos c,dneq0 vale $(c/d)^{-1}=d/c.

Resposta

dc

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