Aplique o teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que
se o caminho
for o círculo unitário
, com qualquer orientação, e sendo
.
Passo 1
Então, a gente tem que usar o Teorema de Cauchy-Goursat pra provar que a integral de $ f(z) = \log(z+2) $ ao longo do caminho $ C $, que é o círculo unitário $ |z| = 1 $, dá zero. Pra isso, vamos precisar entender o que diz esse teorema e verificar se a função $ f(z) $ é analítica dentro e sobre esse círculo.
Passo 2
O Teorema de Cauchy-Goursat diz que se uma função $ f(z) $ é holomorfa (ou seja, analítica) em uma região que inclui o caminho $ C $ e todo o interior dele, então a integral de $ f(z) $ sobre $ C $ é zero. Então, a primeira coisa é ver se $ f(z) = \log(z+2) $ é analítica dentro e sobre o círculo $ |z| = 1 $.
Passo 3
A função $ f(z) = \log(z+2) $ está bem definida e é analítica desde que o argumento $ z+2 $ não seja zero e não crie nenhum problema com cortes de ramificação. O ponto onde $ z+2 = 0 $ é $ z = -2 $. Vamos ver se esse ponto está dentro ou fora do nosso círculo $ |z| = 1 $.
Passo 4
Calculando o módulo de $ z = -2 $, temos $ |-2| = 2 $. Como 2 é maior que 1, o ponto $ z = -2 $ está fora do círculo $ |z| = 1 $. Isso significa que $ f(z) = \log(z+2) $ não tem singularidades dentro ou sobre esse círculo, então ela é analítica lá.
Passo 5
Como $ f(z) $ é analítica dentro e sobre o caminho $ C $, podemos aplicar o Teorema de Cauchy-Goursat. Segundo o teorema, a integral de $ f(z) $ ao longo de $ C $ será zero.