Aplique o teorema da convolução para encontrar a transformada de Laplace inversa das funções:
F(s)=1s(s^2+4)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de F(s)=1s(s^2+4) usando o teorema da convolução. Esse conteúdo envolve as propriedades básicas da transformada de Laplace, em especial a inversa de transformadas simples e o teorema da convolução para produtos no domínio de s.

Passo 2

Reconhecemos que F(s) pode ser escrito como o produto de duas funções:
F(s)=1scdot1s^2+4
Dessa forma, podemos usar o teorema da convolução, que diz que
L^-1G(s)H(s)=integral0^t g(t-tau),h(tau),dtau
onde g(t)=L^-1G(s) e h(t)=L^-1H(s).

Passo 3

Usando tabelas de transformadas inversas conhecidas, temos:
L^-1l1sr=1, L^-1l1s^2+4r=sin(2t)2
Logo, definimos:
g(t)=1, h(t)=sin(2t)2

Passo 4

Aplicamos o teorema da convolução escrevendo
f(t)=integral0^t g(t-tau),h(tau),dtau =integral0^t 1cdotsin(2tau)2,dtau =12integral0^tsin(2tau),dtau
Calculamos a integral:
integral0^tsin(2tau),dtau =l(-12cos(2tau)r)0^t =1-cos(2t)2
Então:
$$f(t)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-\cos(2t)}{2}=\frac{1-\cos(2t)}{4}.
$$

Resposta

f(t)=1-cos(2t)4

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