Encontre a convolução f(t) * g(t).
f(t)=g(t)=sen t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução de duas funções idênticas f(t)=g(t)=sen t, que cai no conteúdo de sinais e sistemas. Vamos usar a definição de convolução para sinais causais, isto é, f*g(t)=integral0^tf(tau),g(t-tau),dtau.

Passo 2

Aplicando a definição de convolução, temos:
f*g(t)=integral0^tsin(tau)sin(t-tau),dtau

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica sin asin b=tfrac12[cos(a-b)-cos(a+b)] com a=tau e b=t-tau, obtendo:
sin(tau)sin(t-tau)=tfrac12l[cos(2tau-t)-cos tr]

Passo 4

Separamos a integral em duas partes:
integral0^tcos(2tau-t),dtau-integral0^tcos t,dtau

Passo 5

Para a primeira, fazemos u=2tau-t ( du=2dtau), de tau=0 a tau=t vira u=-t a u=t:
integral0^tcos(2tau-t),dtau=tfrac12integral-t^tcos u,du=tfrac12[sin u]-t^t=sin t

Passo 6

Para a segunda, como cos t é constante em tau,
integral0^tcos t,dtau=tcos t

Passo 7

Multiplicando tudo por tfrac12 e combinando, achamos:
f*g(t)=tfrac12sin t-tfrac12,tcos t

Resposta

sin t - tcos t2

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