Encontre uma solução não trivial das EDOs abaixo, tal que x(0)=0.
t x^prime prime+(4 t-2) x^prime+(13 t-4) x=0

Passo 1

Temos a EDO t x'' + (4t - 2)x' + (13t - 4)x = 0 e queremos uma solução não trivial com x(0)=0. O ponto t=0 é singular regular, então vamos usar o método de Frobenius.

Passo 2

Procuramos uma solução do tipo x(t)=t^rsumk=0^inftyak t^k, com a0neq0. Substituindo na EDO e igualando os menores exponentes de t (equação indicial), obtemos
r(r-1)-2r-4=0Longrightarrow r^2 -3r -4=0Rightarrow r=4;ou;r=-1

Passo 3

Como queremos x(0)=0, escolhemos r=4 (a outra raiz dá solução singular em 0).

Passo 4

Para m>=4 obtemos a recorrência
am-3(m+1)(m-2) + 4am-4(m-1) + 13am-5 = 0

Passo 5

Tomando a0=1 (normalização) e usando a recorrência, calculamos alguns coeficientes:
a1 = -65, a2 = 3190, a3 = 1445,;dots

Passo 6

Logo uma solução não trivial regular em t=0 com x(0)=0 é a série de Frobenius

Resposta

Uma escolha simples (normalizando a0=1) é
x(t)=t^4-tfrac65t^5+tfrac3190t^6+tfrac1445t^7+cdots

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