Resolva:
y' - 2y = 4 - t;
Para cada EDO, esboce os gráficos de várias soluções no mesmo plano e desenhe o campo de direções. (Obs: Use um computador para plotar o gráfico das soluções se necessário).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema pertence ao estudo das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente das EDOs lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Vou te guiar passo a passo para ficar tudo claro!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. A equação está na forma padrão:
No nosso caso:
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação para facilitar a solução.

Passo 3

O fator integrante ( ) é dado por:
Vamos calcular:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral da esquerda simplesmente dá . Para a integral da direita, podemos usar a técnica de integração por partes. Após resolver, obtemos:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para :
Podemos simplificar isso para:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária. Para esboçar os gráficos das soluções e o campo de direções, você pode usar softwares como o MATLAB, GeoGebra ou qualquer outro que permita plotar funções e campos vetoriais.

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