Resolva:
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Para cada EDO, esboce os gráficos de várias soluções no mesmo plano e desenhe o campo de direções. (Obs: Use um computador para plotar o gráfico das soluções se necessário).
Para cada EDO, esboce os gráficos de várias soluções no mesmo plano e desenhe o campo de direções. (Obs: Use um computador para plotar o gráfico das soluções se necessário).
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de problema pertence ao estudo das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente das EDOs lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Vou te guiar passo a passo para ficar tudo claro!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. A equação está na forma padrão:
No nosso caso:
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação para facilitar a solução.
Passo 3
O fator integrante (
) é dado por:
Vamos calcular:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral da esquerda simplesmente dá
. Para a integral da direita, podemos usar a técnica de integração por partes. Após resolver, obtemos:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Podemos simplificar isso para:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
é uma constante arbitrária. Para esboçar os gráficos das soluções e o campo de direções, você pode usar softwares como o MATLAB, GeoGebra ou qualquer outro que permita plotar funções e campos vetoriais.