Aplique o teorema 3.2 ao problema de valor inicial
d yd x=3 x^2+4 x+22(y-1), y(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma equação diferencial com um valor inicial:
d yd x=3 x^2+4 x+22(y-1), y(0)=-1
Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente separação de variáveis, para encontrar a função $ y(x) $.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $ para facilitar a resolução. Isso significa que vamos reorganizar a equação para que todos os termos com $ y $ fiquem de um lado e os termos com $ x $ fiquem do outro.
Multiplicando ambos os lados por $ 2(y - 1) $, temos:
y

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação para integrarmos ambos os lados:
2(y - 1) dy = (3x^2 + 4x + 2) dx
Aqui, integramos em relação a $ y $ do lado esquerdo e em relação a $ x $ do lado direito.

Passo 4

Integrando o lado esquerdo:
integral 2(y - 1) dy = 2 integral (y - 1) dy = 2 ( y^22 - y ) = y^2 - 2y

Passo 5

Integrando o lado direito:
integral (3x^2 + 4x + 2) dx = integral 3x^2 dx + integral 4x dx + integral 2 dx = x^3 + 2x^2 + 2x

Passo 6

Agora, juntamos os resultados das integrais e adicionamos a constante de integração $ C $:
C

Passo 7

Usamos a condição inicial $ y(0) = -1 $ para encontrar o valor de $ C $. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = -1 $:
y(0) = -1

Passo 8

Substituímos $ C = 3 $ na equação geral:
C = 3

Passo 9

Para achar $ y $ explicitamente, rearranjamos a equação:
y
Isso é uma equação quadrática em $ y $. Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
y^2 - 2y - x^3 - 2x^2 - 2x - 3 = 0

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y = 1 pm raizx^3 + 2x^2 + 2x + 4
Como $ y(0) = -1 $, escolhemos o sinal negativo, então:
y(0) = -1

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