Aplique o teorema 3.2 ao problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma equação diferencial com um valor inicial:
Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente separação de variáveis, para encontrar a função $ y(x) $.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $ para facilitar a resolução. Isso significa que vamos reorganizar a equação para que todos os termos com $ y $ fiquem de um lado e os termos com $ x $ fiquem do outro.
Multiplicando ambos os lados por $ 2(y - 1) $, temos:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação para integrarmos ambos os lados:
Aqui, integramos em relação a $ y $ do lado esquerdo e em relação a $ x $ do lado direito.
Passo 4
Integrando o lado esquerdo:
Passo 5
Integrando o lado direito:
Passo 6
Agora, juntamos os resultados das integrais e adicionamos a constante de integração $ C $:
Passo 7
Usamos a condição inicial $ y(0) = -1 $ para encontrar o valor de $ C $. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = -1 $:
Passo 8
Substituímos $ C = 3 $ na equação geral:
Passo 9
Para achar $ y $ explicitamente, rearranjamos a equação:
Isso é uma equação quadrática em $ y $. Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Como $ y(0) = -1 $, escolhemos o sinal negativo, então: