Calcule a integral.
integral0^pi / 6 raiz1-cos 4 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a pi/6 de raiz1-cos4theta. Vamos usar identidades trigonométricas para simplificar o integrando antes de integrar.

Passo 2

Usamos a identidade de diferença de cossenos: 1 – cos4theta = 2sin^2(2theta). Logo,
raiz1-cos4theta = raiz2sin^2(2theta) = raiz2,|sin(2theta)|

Passo 3

No intervalo 0 <= theta <= pi/6, temos 0 <= 2theta <= pi/3, portanto sin(2theta)>=0 e podemos retirar o valor absoluto:
raiz1-cos4theta = raiz2,sin(2theta)

Passo 4

A integral fica
integral0^pi/6 raiz1-cos4theta,dtheta = raiz2 integral0^pi/6 sin(2theta),dtheta

Passo 5

Sabendo que integral sin(2theta),dtheta = -tfrac12cos(2theta), temos
raiz2 integral0^pi/6 sin(2theta),dtheta = raiz2l[-tfrac12cos(2theta)r]0^pi/6

Passo 6

Agora avaliamos os limites:
= -tfracraiz22l(cos(tfracpi3) - cos(0)r) = -tfracraiz22l(tfrac12 - 1r) = tfracraiz22cdottfrac12 = tfracraiz24

Resposta

raiz24

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