Considere o problema de valor inicial
para
. Aplique o teorema 3.2 a este problema de valor inicial e depois resolva o problema.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um problema de valor inicial, que é uma equação diferencial junto com uma condição inicial. Especificamente, a equação é:
O objetivo aqui é aplicar o Teorema 3.2 a esse problema e, depois, resolver a equação. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre equações diferenciais ordinárias (EDOs) e teoremas de existência e unicidade que nos dizem se uma solução existe e se ela é única.
Passo 2
Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o Teorema 3.2. Embora não saibamos exatamente qual é a versão desse teorema no seu material, geralmente, em contextos de EDOs, esse tipo de teorema está relacionado à existência e unicidade das soluções de um problema de valor inicial. Um dos teoremas mais conhecidos nesse sentido é o Teorema de Picard-Lindelöf, que nos diz que, sob certas condições sobre a função que define a EDO, existe uma única solução que passa pelo ponto inicial dado.
Então, para aplicar o Teorema 3.2, precisamos verificar se as condições dele são satisfeitas para a nossa equação $ y’ = y^{1/3} $ com $ y(0) = 0 $.
Passo 3
Vamos analisar a função que define nossa EDO, que é $ f(y) = y^{1/3} $. Para aplicar o teorema, geralmente precisamos que $ f(y) $ seja continua e que satisfaça uma condição de Lipschitz em um intervalo ao redor da condição inicial.
Primeiro, $ f(y) = y^{1/3} $ é contínua para todo $ y $, então a primeira condição está ok. Mas e a condição de Lipschitz?
A condição de Lipschitz significa que existe uma constante $ L $ tal que:
para todo $ y_1 $ e $ y_2 $ no intervalo considerado. Vamos verificar se isso acontece para $ f(y) = y^{1/3} $.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de $ f(y) = y^{1/3} $:
Perceba que quando $ y $ se aproxima de 0, $ f’(y) $ cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito. Isso significa que $ f(y) $ não é Lipschitz contínua em $ y = 0 $, pois a derivada não é limitada nesse ponto.
Passo 5
Como a função $ f(y) = y^{1/3} $ não satisfaz a condição de Lipschitz em $ y = 0 $, o Teorema 3.2 não garante a unicidade da solução para o problema de valor inicial dado. Ou seja, pode haver mais de uma solução que passa por $ y(0) = 0 $.
Passo 6
Agora, vamos resolver a EDO $ y’ = y^{1/3} $ com $ y(0) = 0 $. Para resolver, podemos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde $ C $ é a constante de integração. Resolviendo para $ y $:
Passo 7
Aplicando a condição inicial $ y(0) = 0 $:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: