Use o teorema 3.1 para encontrar um intervalo no qual o problema de valor inicial
tem uma única solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que você me enviou é sobre uma equação diferencial de valor inicial. A equação é:
Aqui, queremos encontrar um intervalo onde essa equação tem uma única solução. Para isso, vamos usar o Teorema 3.1, que geralmente trata da existência e unicidade da solução para equações diferenciais. Vamos precisar reorganizar a equação para aplicar o teorema corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão. A equação original é:
Queremos isolar $ y’ $. Dividindo ambos os lados por $ t $ (lembrando que $ t \neq 0 $):
Agora, a equação está na forma:
onde $ P(t) = \frac{2}{t} $ e $ Q(t) = 4 t $.
Passo 3
O Teorema 3.1 geralmente requer que as funções $ P(t) $ e $ Q(t) $ sejam contínuas em um intervalo que contenha o ponto inicial $ t = 1 $. Vamos verificar isso:
- $ P(t) = \frac{2}{t} $ é contínua para $ t \neq 0 $.
- $ Q(t) = 4 t $ é contínua para todo $ t $.
Como o ponto inicial é $ t = 1 $, que é diferente de zero, as funções $ P(t) $ e $ Q(t) $ são contínuas em um intervalo ao redor de $ t = 1 $ onde $ t $ não é zero.
Passo 4
Portanto, podemos escolher um intervalo que não inclua $ t = 0 $ e contenha $ t = 1 $. O intervalo mais simples que atende a isso é:
Nesse intervalo, $ P(t) $ e $ Q(t) $ são contínuas, garantindo, pelo Teorema 3.1, que existe uma única solução para o problema de valor inicial dado.
Resposta
O problema de valor inicial tem uma única solução no intervalo $ t > 0 $.