Use o teorema 3.1 para encontrar um intervalo no qual o problema de valor inicial
t y^prime+2 y=4 t^2, y(1)=2
tem uma única solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você me enviou é sobre uma equação diferencial de valor inicial. A equação é:
t y^prime + 2 y = 4 t^2, y(1) = 2
Aqui, queremos encontrar um intervalo onde essa equação tem uma única solução. Para isso, vamos usar o Teorema 3.1, que geralmente trata da existência e unicidade da solução para equações diferenciais. Vamos precisar reorganizar a equação para aplicar o teorema corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão. A equação original é:
t y^prime + 2 y = 4 t^2
Queremos isolar $ y’ $. Dividindo ambos os lados por $ t $ (lembrando que $ t \neq 0 $):
y'
Agora, a equação está na forma:
t
onde $ P(t) = \frac{2}{t} $ e $ Q(t) = 4 t $.

Passo 3

O Teorema 3.1 geralmente requer que as funções $ P(t) $ e $ Q(t) $ sejam contínuas em um intervalo que contenha o ponto inicial $ t = 1 $. Vamos verificar isso:
  • $ P(t) = \frac{2}{t} $ é contínua para $ t \neq 0 $.
  • $ Q(t) = 4 t $ é contínua para todo $ t $.
Como o ponto inicial é $ t = 1 $, que é diferente de zero, as funções $ P(t) $ e $ Q(t) $ são contínuas em um intervalo ao redor de $ t = 1 $ onde $ t $ não é zero.

Passo 4

Portanto, podemos escolher um intervalo que não inclua $ t = 0 $ e contenha $ t = 1 $. O intervalo mais simples que atende a isso é:
t = 0
Nesse intervalo, $ P(t) $ e $ Q(t) $ são contínuas, garantindo, pelo Teorema 3.1, que existe uma única solução para o problema de valor inicial dado.

Resposta

O problema de valor inicial tem uma única solução no intervalo $ t > 0 $.

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