Aplique o Teorema de Stokes para calcular o fluxo do rotacional do campo vetorial
F(x, y, z)=(-y, x e^z, x+y)
através da superfície S que é a parte do paraboloide z=9-x^2-y^2 com x >= 0 e z >= 0, em direção à normal de S que aponta para cima (i.e., com 3^a coordenada positiva). (resp.: 9 pi+36.)

Passo 1

Resumimos o enunciado: queremos o fluxo do rotacional de
F(x,y,z)=(-y,;x e^z,;x+y)
através da parte do paraboloide z=9-x^2-y^2 com x>=0 e z>=0, usando a normal que aponta para cima. Em símbolos, buscamos
integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS

Passo 2

Calcular nablatimes F. Por definição,
nablatimes F =l(partialy(x+y)-partialz(x e^z),;partialz(-y)-partialx(x+y),;partialx(x e^z)-partialy(-y)r),
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nablatimes F=(1 - x e^z,,-1,;e^z+1)

Passo 3

Parametrizamos S por
r(x,y)=(x,;y,;9-x^2-y^2),
com (x,y) variando em
D=(x,y)mid x>=0,;x^2+y^2<=9
As derivadas são
rx=(1,0,-2x), ry=(0,1,-2y),
e o vetor normal orientado para cima é
rxtimes ry=(2x,,2y,,1)

Passo 4

O fluxo torna-se integral sobre D:
integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS =integral duplaD(nablatimes F)l(r(x,y)r)cdotl(rxtimes ryr),dA
Em cada ponto z=9-x^2-y^2,
(nablatimes F)l(r(x,y)r) =(1-xe^9-x^2-y^2,,-1,;e^9-x^2-y^2+1),
e o produto escalar fica
(1-xe^z),2x+(-1),2y+(e^z+1),1 =2x-2x^2e^z-2y+e^z+1

Passo 5

Separamos em dois integrais:
integral duplaD(2x-2y+1),dA ;+; integral duplaD e^z,(1-2x^2),dA

Passo 6

Calculamos primeiro
I1=integral duplaD(2x-2y+1),dA
Por simetria em y, integral duplaD-2y,dA=0.
Também
integral duplaD2x,dA =4integral0^3xraiz9-x^2,dx =36,
e
integral duplaD1,dA =tfrac12picdot3^2 =9pi2
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I1=36+9pi2

Passo 7

Agora
I2=integral duplaD e^9-x^2-y^2(1-2x^2),dA
Em coordenadas polares x=rcostheta,;y=rsintheta com
rin[0,3], thetain[-tfracpi2,tfracpi2], temos
I2 =e^9integral-pi/2^pi/2integral0^3(1-2r^2cos^2theta),e^-r^2,r,dr,dtheta
Fazendo primeiro a integral em r e depois em theta chega-se a
I2=9pi2

Passo 8

Somando I1 e I2:
integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS =I1+I2 =l(36+tfrac9pi2r) +tfrac9pi2 =36+9pi

Resposta

O fluxo vale
36+9pi

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