Aplique o Teorema de Stokes para calcular o fluxo do rotacional do campo vetorial
através da superfície
que é a parte do paraboloide
e
, em direção à normal de
que aponta para cima (i.e., com
coordenada positiva). (resp.:
.)
Passo 1
Resumimos o enunciado: queremos o fluxo do rotacional de
através da parte do paraboloide
com
e
, usando a normal que aponta para cima. Em símbolos, buscamos
Passo 2
Calcular
. Por definição,
logo
Passo 3
Parametrizamos
por
com
variando em
As derivadas são
e o vetor normal orientado para cima é
Passo 4
O fluxo torna-se integral sobre
:
Em cada ponto
,
e o produto escalar fica
Passo 5
Separamos em dois integrais:
Passo 6
Calculamos primeiro
Por simetria em
,
.
Também
Também
e
Logo
Passo 7
Agora
Em coordenadas polares
com
,
, temos
Fazendo primeiro a integral em
e depois em
chega-se a
Passo 8
Somando
e
:
Resposta
O fluxo vale