Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x yx^2+2 y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(x,y)=x,yx^2+2y^2
quando (x,y)to(0,0). Para provar que esse limite existe, o valor de f(x,y) ao se aproximar pela reta y=mx teria de ser o mesmo para todo m. Se encontrarmos duas retas que dão resultados diferentes, mostramos que o limite não existe.

Passo 2

Vamos aproximar por uma reta genérica y=mx. Substituindo em f:
x,(m x)x^2+2(m x)^2 =m x^2x^2+2m^2x^2 =m x^2x^2(1+2m^2) =m1+2m^2

Passo 3

O valor tfracm1+2m^2 depende de m. Por exemplo:
– Para m=0 obtemos tfrac01+0=0.
– Para m=1 obtemos tfrac11+2=tfrac13.
Como 0neqtfrac13, o valor de f(x,y) varia conforme a direção de aproximação.

Passo 4

Visto que diferentes retas fornecem limites distintos, concluímos que o limite de f(x,y) em (0,0) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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