Differential equations are sometimes solved by having a clever idea. Here is a little exercise in cleverness: Although the differential equation (x-raizx^2+y^2) d x+y d y=0 is not exact, show how the rearrangement (x d x+y d y) / raizx^2+y^2=d x and the observation 12 d(x^2+y^2)=x d x+y d y can lead to a solution.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
(x-raizx^2+y^2),dx + y,dy = 0
e sugere usar a reescrita
x,dx+y,dyraizx^2+y^2=dx
junto com a observação
tfrac12,dl(x^2+y^2r)=x,dx+y,dy
O objetivo é transformar tudo num diferencial exato e integrar.

Passo 2

Partindo de
(x-raizx^2+y^2),dx + y,dy = 0,
somamos raizx^2+y^2,dx em ambos os lados para obter
x,dx+y,dy = raizx^2+y^2,dx
Em seguida dividimos por raizx^2+y^2, resultando em
x,dx+y,dyraizx^2+y^2=dx

Passo 3

Reconhecemos que
tfrac12,dl(x^2+y^2r)=x,dx+y,dy,
logo
x,dx+y,dyraizx^2+y^2 =1raizx^2+y^2,l(tfrac12,d(x^2+y^2)r) =dl(raizx^2+y^2r)
Assim a equação diferencial fica
dl(raizx^2+y^2r)=dx

Passo 4

Basta agora integrar dos dois lados:
integral dl(raizx^2+y^2r) =integral dx Longrightarrow raizx^2+y^2=x+C

Resposta

raizx^2+y^2-x=C

Exercícios relacionados