3^{\text {a }} QUESTÃO(
1,5 \mathrm{pt} )Uma determinada distribuição esférica(raio
\mathrm{R}=3 \mathrm{~m} )de carga, produz um potencial elétrico no espaço dado por:
\begin{aligned} & V(r)=\frac{27}{6}-\frac{r^{2}}{6}, \text { para } r<3 m, \\\ & V(r)=\frac{9}{r}, \text { para } r>3 m, \end{aligned}
onde,r é a distância do centro dessą distribuição a um ponto qualquer do espaço. Sabe-se que,neste caso,o potencial elétrico é zero no infinito.Calcule a energia potencial elétrica existente na região esférica definida por
r<3 m e a densidade de energia para a região
r>3 m .
Considere que todos os dados estão no SI e apresente suas respostas em função da permissividade do vácuo
\varepsilon_{0} ,e da variável
r ,se for necessário.
P_{\text {ana }}(r<3 m):
\begin{aligned} & E(r)=-\frac{\partial V}{\partial r}=-\frac{\partial}{\partial r}\left(-\frac{r^{2}}{6}\right)=\frac{r}{3} \\\ & \mu(r)=\frac{1}{2} \varepsilon^{2} E^{2}=\frac{1}{2} \varepsilon_{0} \frac{r^{2}}{9} \\\ & \left.U=\int_{0}^{3} \frac{1}{2} \varepsilon_{0} \frac{r^{2}}{9} 4 \pi r^{2} d r=\frac{2}{9} \pi \varepsilon_{0} \int_{0}^{3} r^{4} d r=\frac{2}{9} \pi \varepsilon_{0} \frac{\pi^{5}}{5}\right]_{0}^{3} \\\ & U=\frac{2}{9} \pi \varepsilon_{0} \frac{3^{5}}{5}=\frac{2 \pi \varepsilon_{0} \cdot 27}{5}=\frac{54}{5} \pi \varepsilon_{0} \quad(\mathrm{~J}) \end{aligned}
\operatorname{Para}(n>3 m)
\begin{aligned} & E(r)=-\frac{\partial V}{\partial r}=-\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{q}{r}\right)=-9(-1) \frac{1}{r^{2}}=\frac{q}{r^{2}} \\\ & \mu(r)=\frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}=\frac{1}{2} \varepsilon_{0} \frac{81}{r^{4}}=\frac{81}{4} \frac{\varepsilon_{0}}{r^{4}}\left(5 / \mathrm{m}^{3}\right) \end{aligned}