3^{\text {a }} QUESTÃO( 1,5 \mathrm{pt} )Uma determinada distribuição esférica(raio \mathrm{R}=3 \mathrm{~m} )de carga, produz um potencial elétrico no espaço dado por:
\begin{aligned} & V(r)=\frac{27}{6}-\frac{r^{2}}{6}, \text { para } r<3 m, \\\ & V(r)=\frac{9}{r}, \text { para } r>3 m, \end{aligned}
onde,r é a distância do centro dessą distribuição a um ponto qualquer do espaço. Sabe-se que,neste caso,o potencial elétrico é zero no infinito.Calcule a energia potencial elétrica existente na região esférica definida por r<3 m e a densidade de energia para a região r>3 m
Considere que todos os dados estão no SI e apresente suas respostas em função da permissividade do vácuo \varepsilon_{0} ,e da variável r ,se for necessário.
P_{\text {ana }}(r<3 m):
\begin{aligned} & E(r)=-\frac{\partial V}{\partial r}=-\frac{\partial}{\partial r}\left(-\frac{r^{2}}{6}\right)=\frac{r}{3} \\\ & \mu(r)=\frac{1}{2} \varepsilon^{2} E^{2}=\frac{1}{2} \varepsilon_{0} \frac{r^{2}}{9} \\\ & \left.U=\int_{0}^{3} \frac{1}{2} \varepsilon_{0} \frac{r^{2}}{9} 4 \pi r^{2} d r=\frac{2}{9} \pi \varepsilon_{0} \int_{0}^{3} r^{4} d r=\frac{2}{9} \pi \varepsilon_{0} \frac{\pi^{5}}{5}\right]_{0}^{3} \\\ & U=\frac{2}{9} \pi \varepsilon_{0} \frac{3^{5}}{5}=\frac{2 \pi \varepsilon_{0} \cdot 27}{5}=\frac{54}{5} \pi \varepsilon_{0} \quad(\mathrm{~J}) \end{aligned}
\operatorname{Para}(n>3 m)
\begin{aligned} & E(r)=-\frac{\partial V}{\partial r}=-\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{q}{r}\right)=-9(-1) \frac{1}{r^{2}}=\frac{q}{r^{2}} \\\ & \mu(r)=\frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}=\frac{1}{2} \varepsilon_{0} \frac{81}{r^{4}}=\frac{81}{4} \frac{\varepsilon_{0}}{r^{4}}\left(5 / \mathrm{m}^{3}\right) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado descreve uma distribuição esférica de raio R=3\)\,m que gera o potencial \[V(r)= \begin{cases} \dfrac{27}{6}-\dfrac{r^{2}}{6},&r<3\,,\\[1em] \dfrac{9}{r},&r>3\,, \end{cases}
com V(\infty)=0\]. Pede-se: \(1) a energia eletrostática total na região r<3 m;
2) a densidade de energia para r>3 m.
Vamos usar
– o campo elétrico \mathbf{E}(r)=-\dfrac{dV}{dr}\,\hat r,
– a densidade de energia eletrostática u(r)=\tfrac12\,\varepsilon_{0}E^{2}(r),
– e a energia total U=\displaystyle\int u\,d\tau.]

Passo 2

Para r<3,
E(r)=-\frac{dV}{dr} =-\frac{d}{dr}\Bigl(\frac{27}{6}-\frac{r^{2}}{6}\Bigr) =\frac{r}{3}\,.
O campo aponta radialmente.

Passo 3

Ainda em r<3, a densidade de energia é
u(r)=\frac12\,\varepsilon_{0}\,E^{2}(r) =\frac12\,\varepsilon_{0}\,\frac{r^{2}}{9} =\frac{\varepsilon_{0}\,r^{2}}{18}\,.

Passo 4

A energia total em r<3 vem de
U=\int_{V}u(r)\,d\tau =\int_{0}^{3}\frac{\varepsilon_{0}\,r^{2}}{18}\;4\pi r^{2}\,dr =\frac{4\pi\varepsilon_{0}}{18}\int_{0}^{3}r^{4}\,dr =\frac{2\pi\varepsilon_{0}}{9}\,\frac{3^{5}}{5} =\frac{54\pi\,\varepsilon_{0}}{5}\,.

Passo 5

Para r>3,
E(r)=-\frac{dV}{dr} =-\frac{d}{dr}\!\Bigl(\frac{9}{r}\Bigr) =\frac{9}{r^{2}}\,.

Passo 6

Logo, em r>3 a densidade de energia é
u(r)=\frac12\,\varepsilon_{0}\,E^{2}(r) =\frac12\,\varepsilon_{0}\,\frac{81}{r^{4}} =\frac{81\,\varepsilon_{0}}{2\,r^{4}}\,.

Resposta

Energia total em r<3 m:
U=\frac{54\pi\,\varepsilon_{0}}{5}\quad(\text{J})\,.
Densidade de energia em r>3 m:
u(r)=\frac{81\,\varepsilon_{0}}{2\,r^{4}}\quad(\text{J/m}^{3})\,.

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