Aplique o teste da divergência e analise a convergência das séries.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o teste da divergência e analisar a convergência da série
Informações dadas e o que precisamos identificar:
- O termo geral da série é
. - Precisamos verificar se a série converge ou diverge usando o teste da divergência (ou teste do termo geral).
- Não há outras condições ou imagens — só o termo geral acima.
Passo 2
Explicando o teste da divergência (passo a passo, como se eu estivesse te explicando na prova):
- O teste da divergência diz o seguinte: se
ou se esse limite não existe, então a série
diverge. Em palavras: para que uma soma infinita de termos tenha chance de somar um número finito, os termos precisam ficar cada vez menores e tender a zero. Se o termo geral não tende a zero, os “pedaços” que estamos somando não desaparecem e a soma não pode estabilizar.
- Atenção: se
, o teste é inconclusivo — a série pode convergir ou divergir e aí precisamos de outros testes. Mas se o limite for diferente de zero, já podemos concluir diverge imediatamente.
Passo 3
Vamos calcular o limite do termo geral
. Técnica simples: dividir numerador e denominador por
(o maior grau em
):
Agora tomamos limite quando
. Como
e
, temos
Portanto
Passo 4
Aplicando o teste da divergência com o resultado do passo anterior:
- Encontramos
. - Pelo teste da divergência, isso implica que a série
diverge.
Passo 5
Para reforçar a intuição (um detalhe útil na prova): como
, os termos ficam próximos de
para
grande. Formalizando: escolha
. Então existe
tal que para todo
vale
, o que implica
. Assim a soma das caudas satisfaz
logo a série diverge porque a parte final já diverge. Isso é só uma maneira alternativa e mais construtiva de ver o porquê da divergência além do enunciado do teste.
Resposta
A série diverge, pois
.