Aplique o teste da divergência e analise a convergência das séries.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{3 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da divergência e analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{3 n+1}.
Informações dadas e o que precisamos identificar:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{n+2}{3n+1}.
  • Precisamos verificar se a série converge ou diverge usando o teste da divergência (ou teste do termo geral).
  • Não há outras condições ou imagens — só o termo geral acima.

Passo 2

Explicando o teste da divergência (passo a passo, como se eu estivesse te explicando na prova):
  • O teste da divergência diz o seguinte: se
\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0
ou se esse limite não existe, então a série \sum a_n diverge. Em palavras: para que uma soma infinita de termos tenha chance de somar um número finito, os termos precisam ficar cada vez menores e tender a zero. Se o termo geral não tende a zero, os “pedaços” que estamos somando não desaparecem e a soma não pode estabilizar.
  • Atenção: se \lim_{n\to\infty} a_n = 0, o teste é inconclusivo — a série pode convergir ou divergir e aí precisamos de outros testes. Mas se o limite for diferente de zero, já podemos concluir diverge imediatamente.

Passo 3

Vamos calcular o limite do termo geral \displaystyle a_n=\frac{n+2}{3n+1}. Técnica simples: dividir numerador e denominador por n (o maior grau em n):
\frac{n+2}{3n+1}=\frac{n\left(1+\dfrac{2}{n}\right)}{n\left(3+\dfrac{1}{n}\right)}=\frac{1+\dfrac{2}{n}}{3+\dfrac{1}{n}}.
Agora tomamos limite quando n\to\infty. Como \dfrac{2}{n}\to 0 e \dfrac{1}{n}\to 0, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{1+\dfrac{2}{n}}{3+\dfrac{1}{n}}=\frac{1+0}{3+0}=\frac{1}{3}.
Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{1}{3}.

Passo 4

Aplicando o teste da divergência com o resultado do passo anterior:
  • Encontramos \lim_{n\to\infty} a_n = \dfrac{1}{3} \neq 0.
  • Pelo teste da divergência, isso implica que a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{3n+1} diverge.

Passo 5

Para reforçar a intuição (um detalhe útil na prova): como \lim_{n\to\infty} a_n=\dfrac{1}{3}, os termos ficam próximos de \dfrac{1}{3} para n grande. Formalizando: escolha \varepsilon=\dfrac{1}{6}. Então existe N tal que para todo n\ge N vale |a_n-\tfrac{1}{3}|<\tfrac{1}{6}, o que implica a_n>\tfrac{1}{6}. Assim a soma das caudas satisfaz
\sum_{n=N}^{\infty} a_n \ge \sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{6} = \infty,
logo a série diverge porque a parte final já diverge. Isso é só uma maneira alternativa e mais construtiva de ver o porquê da divergência além do enunciado do teste.

Resposta

A série diverge, pois \lim_{n\to\infty}\dfrac{n+2}{3n+1}=\dfrac{1}{3}\neq 0.

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