A concentração de uma substância em função do tempo pode ser expressa como \boldsymbol{c}(\boldsymbol{t})=\frac{\mathbf{2} \boldsymbol{t}}{\mathbf{3}+\boldsymbol{t}} encontre a Taxa de Variação da concentração e determine seu valor em t=3.

Passo 1

O enunciado dá a concentração em função do tempo
c(t)=\frac{2t}{3+t}.
Pede-se duas coisas:
  1. encontrar a Taxa de Variação da concentração (ou seja, a derivada de c em relação a t);
  2. determinar o valor dessa taxa quando t=3.
    Observação importante: a expressão tem denominador 3+t, então t\neq -3 no domínio da função.

Passo 2

O que significa “Taxa de Variação”? É a derivada de c em relação a t. Formalmente, a derivada c'(t) é o limite
c'(t)=\lim_{h\to0}\frac{c(t+h)-c(t)}{h}.
Na prática de prova usamos regras de derivação (como regra do quociente, regra da potência, e regra da cadeia) para calcular c'(t) sem recorrer ao limite explícito sempre. Aqui t é a variável (tempo) e c(t) é a função que depende de t.

Passo 3

Escolhendo o método: podemos usar a regra do quociente diretamente, ou primeiro simplificar algebricamente a função para tornar a diferenciação mais direta. Vou simplificar, porque dá menos contas e evita erro de sinais — é um truque prático que você pode usar na prova.

Passo 4

Simplificação algébrica de \dfrac{2t}{t+3}. Faço uma decomposição por divisão própria:
escrevo 2t como 2(t+3)-6 (porque 2(t+3)=2t+6, então subtraindo 6 recupero 2t). Assim
\frac{2t}{t+3}=\frac{2(t+3)-6}{t+3}=\frac{2(t+3)}{t+3}-\frac{6}{t+3}=2-\frac{6}{t+3}.
Portanto reescrevemos a função como
c(t)=2-\frac{6}{t+3}.

Passo 5

Relembrando as regras que vamos usar:
  • Derivada de uma constante: se k é constante, então \dfrac{d}{dt}k=0.
  • Regra da potência (caso geral): se u(t)=(t+3)^{n}, então \dfrac{d}{dt}u=n(t+3)^{n-1}\cdot \dfrac{d}{dt}(t+3). Aqui \dfrac{d}{dt}(t+3)=1.
  • Regra do múltiplo constante: \dfrac{d}{dt}\big(k\cdot f(t)\big)=k\cdot f'(t).
Usaremos isso para derivar 2-\dfrac{6}{t+3}=2-6(t+3)^{-1}.

Passo 6

Calcule a derivada termo a termo:
  • \dfrac{d}{dt}2=0.
  • Para -6(t+3)^{-1}, aplico a regra da potência + constante: \dfrac{d}{dt}\big((t+3)^{-1}\big)=-1\,(t+3)^{-2}\cdot 1. Multiplicando pelo -6 temos
\frac{d}{dt}\left(-6(t+3)^{-1}\right)=-6\cdot\big(-1\big)(t+3)^{-2}=6(t+3)^{-2}.
Juntando os termos:
c'(t)=0+6(t+3)^{-2}=\frac{6}{(t+3)^2}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): aplicando a regra do quociente em \dfrac{2t}{t+3} teríamos
c'(t)=\frac{2\cdot (t+3)-2t\cdot 1}{(t+3)^2}=\frac{2t+6-2t}{(t+3)^2}=\frac{6}{(t+3)^2},
o que coincide com o resultado anterior. Boa — está confirmado.

Passo 8

Agora avalio a taxa em t=3. Substituo na expressão de c'(t):
c'(3)=\frac{6}{(3+3)^2}=\frac{6}{6^2}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle c'(t)=\frac{6}{(t+3)^2}
\displaystyle c'(3)=\frac{1}{6}

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