A concentração de uma substância em função do tempo pode ser expressa como
encontre a Taxa de Variação da concentração e determine seu valor em
.
Passo 1
O enunciado dá a concentração em função do tempo
Pede-se duas coisas:
- encontrar a Taxa de Variação da concentração (ou seja, a derivada de
em relação a ); - determinar o valor dessa taxa quando
.
Observação importante: a expressão tem denominador, então no domínio da função.
Passo 2
O que significa “Taxa de Variação”? É a derivada de
em relação a
. Formalmente, a derivada
é o limite
Na prática de prova usamos regras de derivação (como regra do quociente, regra da potência, e regra da cadeia) para calcular
sem recorrer ao limite explícito sempre. Aqui
é a variável (tempo) e
é a função que depende de
.
Passo 3
Escolhendo o método: podemos usar a regra do quociente diretamente, ou primeiro simplificar algebricamente a função para tornar a diferenciação mais direta. Vou simplificar, porque dá menos contas e evita erro de sinais — é um truque prático que você pode usar na prova.
Passo 4
Simplificação algébrica de
. Faço uma decomposição por divisão própria:
escrevo como
(porque
, então subtraindo
recupero
). Assim
escrevo
Portanto reescrevemos a função como
Passo 5
Relembrando as regras que vamos usar:
- Derivada de uma constante: se
é constante, então . - Regra da potência (caso geral): se
, então . Aqui . - Regra do múltiplo constante:
.
Usaremos isso para derivar
.
Passo 6
Calcule a derivada termo a termo:
-
. - Para
, aplico a regra da potência + constante: . Multiplicando pelo temos
Juntando os termos:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): aplicando a regra do quociente em
teríamos
o que coincide com o resultado anterior. Boa — está confirmado.
Passo 8
Agora avalio a taxa em
. Substituo na expressão de
: