Questão 4. Indique as séries como séries-p e decida seus comportamentos.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^{5}}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^{5}}}
e pede que a indiquemos como série- p e decidamos seu comportamento (convergente ou divergente). Informações relevantes: o termo geral é positivo para todo n\ge1 e envolve uma raiz cúbica de n^{5}.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral de forma mais simples usando propriedades de potências e raízes. Lembre que a raiz k-ésima de n^{m} pode ser escrita como potência:
\sqrt[k]{n^{m}} = n^{m/k}.
Aplicando com k=3 e m=5 obtemos
\sqrt[3]{n^{5}} = n^{5/3}.
Portanto o termo geral da série é
\frac{1}{\sqrt[3]{n^{5}}} = \frac{1}{n^{5/3}}.

Passo 3

Definição e propriedade-chave das séries- p. Uma série da forma
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
é chamada série- p. A propriedade importante (teorema padrão) é:
a série- p converge se, e somente se, p>1; diverge se p\le 1.
Vou explicar por que isso é verdade usando o teste da integral (uma prova curta e prática que vale para a prova também).

Passo 4

Aplicando o teste da integral para uma função contínua, positiva e decrescente f(x)=x^{-p} para x\ge1. Comparamos a série com a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx.
Calcule essa integral (supondo p\neq 1):
\int x^{-p}\,dx = \frac{x^{-p+1}}{-p+1}.
A avaliação de 1 até \infty
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \lim_{b\to\infty}\frac{b^{-p+1}-1^{-p+1}}{-p+1}.
Esse limite é finito se, e somente se, -p+1<0, isto é, p>1. Se p>1 a integral converge, e pelo teste da integral a série- p também converge; se p\le1 a integral diverge e a série diverge. Isso estabelece o critério.

Passo 5

Aplicando o critério ao nosso caso: já reescrevemos a série como
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{5/3}}.
Aqui p=\frac{5}{3}. Observe que
\frac{5}{3}>1.
Pelo critério da série- p (ou pelo teste da integral aplicado com p=\tfrac{5}{3}) concluímos que a série converge. Para ver explicitamente a integral no caso p=\tfrac{5}{3}:
\int_{1}^{\infty} x^{-5/3}\,dx = \left.\frac{x^{-2/3}}{-2/3}\right|_{1}^{\infty} = \frac{3}{2}\cdot\big(1-0\big)=\frac{3}{2},
que é finito, confirmando a convergência.

Passo 6

Observações úteis para prova e interpretação prática:
  • Na hora da prova, primeiro transforme qualquer raiz/potência em n^{\text{expoente}} para identificar o p.
  • Se ficar com \sum 1/n^{p}, compare p com 1: se p>1 é convergente; se p\le1 diverge.
  • Como os termos são positivos, convergência aqui significa também convergência absoluta.
  • Não há fórmula simples para a soma exata dessa série; o importante é o comportamento (convergência), não o valor numérico da soma.

Resposta

É uma série-p com p=\tfrac{5}{3}. Converge (convergente).

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