Questão 4. Indique as séries como séries-p e decida seus comportamentos. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^{5}}}
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^{5}}}
e pede que a indiquemos como série-p e decidamos seu comportamento (convergente ou divergente). Informações relevantes: o termo geral é positivo para todo n\ge1 e envolve uma raiz cúbica de n^{5}.
Passo 2
Vamos escrever o termo geral de forma mais simples usando propriedades de potências e raízes. Lembre que a raiz k-ésima de n^{m} pode ser escrita como potência:
\sqrt[k]{n^{m}} = n^{m/k}.
Aplicando com k=3 e m=5 obtemos
\sqrt[3]{n^{5}} = n^{5/3}.
Portanto o termo geral da série é
\frac{1}{\sqrt[3]{n^{5}}} = \frac{1}{n^{5/3}}.
Passo 3
Definição e propriedade-chave das séries-p. Uma série da forma
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
é chamada série-p. A propriedade importante (teorema padrão) é:
a série-p converge se, e somente se, p>1; diverge se p\le 1.
Vou explicar por que isso é verdade usando o teste da integral (uma prova curta e prática que vale para a prova também).
Passo 4
Aplicando o teste da integral para uma função contínua, positiva e decrescente f(x)=x^{-p} para x\ge1. Comparamos a série com a integral imprópria
Esse limite é finito se, e somente se, -p+1<0, isto é, p>1. Se p>1 a integral converge, e pelo teste da integral a série-p também converge; se p\le1 a integral diverge e a série diverge. Isso estabelece o critério.
Passo 5
Aplicando o critério ao nosso caso: já reescrevemos a série como
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{5/3}}.
Aqui p=\frac{5}{3}. Observe que
\frac{5}{3}>1.
Pelo critério da série-p (ou pelo teste da integral aplicado com p=\tfrac{5}{3}) concluímos que a série converge. Para ver explicitamente a integral no caso p=\tfrac{5}{3}: