Questão 4. Indique as séries como séries-p e decida seus comportamentos.
\sum_{n=1}^{\infty} n^{-2 / 3}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{-2/3}:
  1. indicar a série como série-p (ou seja, identificar o valor de p);
  2. decidir o comportamento (converge ou diverge).
    Informação dada: a soma envolve termos n^{-2/3} para n=1,2,3,\dots.

Passo 2

O que é uma “série-p”?
Uma série-p é uma série da forma
\sum_{n=1}^{\infty} n^{-p},
onde p é um número real. Aqui os termos são n^{-p}; a nossa tarefa inicial é identificar p no enunciado. Observando \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{-2/3}, vemos que
p=\frac{2}{3}.
Então já podemos dizer que essa é uma série-p com p=\frac{2}{3}.

Passo 3

Propriedade básica (importante para a prova): critério geral de convergência das séries-p usando o teste da integral. Vou mostrar o raciocínio porque isso costuma cair em prova e é um argumento ótimo para entender por que só importa o valor de p.
Considere a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx.
Para p\neq 1 calculamos a primitiva:
\int x^{-p}\,dx = \frac{x^{1-p}}{1-p}.
Aplicando aos limites de 1 a b e depois fazendo b\to\infty, obtemos
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \lim_{b\to\infty} \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{x=1}^{x=b} = \lim_{b\to\infty} \frac{b^{1-p}-1}{1-p}.
  • Se 1-p<0 (isto é, se p>1), então b^{1-p}\to 0 quando b\to\infty, e a integral converge.
  • Se 1-p\ge 0 (isto é, se p\le 1), então b^{1-p}\to\infty ou fica constante em p=1, e a integral diverge (no caso p=1 a integral é \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx=\infty).
Pelo teste da integral (que diz: se f(x) é positiva, decrescente e contínua em [1,\infty), então \sum f(n) e \int_1^\infty f(x)\,dx têm o mesmo tipo de convergência), concluímos o resultado clássico:
  • A série-p \sum_{n=1}^\infty n^{-p} converge se, e somente se, p>1.
  • Se p\le 1 ela diverge.

Passo 4

Aplicando o resultado ao nosso caso: como identificamos que p=\frac{2}{3} e \frac{2}{3}<1, pela propriedade acima a série diverge. (Explicação em palavras: os termos n^{-2/3} não decaem rápido o suficiente — precisam de potência maior que 1 para somar uma quantidade finita.)

Passo 5

Uma alternativa rápida e útil para prova em prova (comparação com a série harmônica): compare com a série harmônica \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}, que sabemos diverge.
Note que para todo n\ge 1
\frac{n^{-2/3}}{n^{-1}} = n^{1/3}\ge 1,
portanto
n^{-2/3} \ge n^{-1}.
Como a série \sum_{n=1}^\infty n^{-1} (série harmônica) diverge e os termos da nossa série são maiores termo a termo, pelo critério da comparação direta conclui-se que a nossa série também diverge. Esse argumento é curto e costuma ser suficiente numa prova.

Passo 6

Recapitulando de forma bem prática (o que levar para a prova):
  • Identifique p em \sum n^{-p}.
  • Use: se p>1 então converge; se p\le 1 então diverge.
  • Como p=\frac{2}{3}<1, a série diverge.
  • Se quiser um atalho, compare com a harmônica: n^{-2/3}\ge n^{-1} e a harmônica diverge, logo a nossa diverge também.

Resposta

Série-p com p=\frac{2}{3}.
Diverge.

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