Questão 4. Indique as séries como séries-p e decida seus comportamentos.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a série
:
- indicar a série como série-p (ou seja, identificar o valor de
); - decidir o comportamento (converge ou diverge).
Informação dada: a soma envolve termospara .
Passo 2
O que é uma “série-p”?
Uma série-p é uma série da forma
Uma série-p é uma série da forma
onde
é um número real. Aqui os termos são
; a nossa tarefa inicial é identificar
no enunciado. Observando
, vemos que
Então já podemos dizer que essa é uma série-p com
.
Passo 3
Propriedade básica (importante para a prova): critério geral de convergência das séries-p usando o teste da integral. Vou mostrar o raciocínio porque isso costuma cair em prova e é um argumento ótimo para entender por que só importa o valor de
.
Considere a integral imprópria
Para
calculamos a primitiva:
Aplicando aos limites de
a
e depois fazendo
, obtemos
- Se
(isto é, se ), então quando , e a integral converge. - Se
(isto é, se ), então ou fica constante em , e a integral diverge (no caso a integral é ).
Pelo teste da integral (que diz: se
é positiva, decrescente e contínua em
, então
e
têm o mesmo tipo de convergência), concluímos o resultado clássico:
- A série-p
converge se, e somente se, . - Se
ela diverge.
Passo 4
Aplicando o resultado ao nosso caso: como identificamos que
e
, pela propriedade acima a série diverge. (Explicação em palavras: os termos
não decaem rápido o suficiente — precisam de potência maior que
para somar uma quantidade finita.)
Passo 5
Uma alternativa rápida e útil para prova em prova (comparação com a série harmônica): compare com a série harmônica
, que sabemos diverge.
Note que para todo
portanto
Como a série
(série harmônica) diverge e os termos da nossa série são maiores termo a termo, pelo critério da comparação direta conclui-se que a nossa série também diverge. Esse argumento é curto e costuma ser suficiente numa prova.
Passo 6
Recapitulando de forma bem prática (o que levar para a prova):
- Identifique
em . - Use: se
então converge; se então diverge. - Como
, a série diverge. - Se quiser um atalho, compare com a harmônica:
e a harmônica diverge, logo a nossa diverge também.
Resposta
Série-p com
.
Diverge.
Diverge.