Aplique o Teste da Divergência e escreva a conclusão obtida sobre a série.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{2}+k+3}{2 k^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Divergência na série \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{2}+k+3}{2k^{2}+1}.
O conteúdo aqui é reconhecer que, se o termo geral não tende a zero, a série não pode convergir.

Passo 2

O Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral) diz que, se
\lim_{k\to\infty}a_{k}\neq 0,
então a série \sum a_{k} diverge.

Passo 3

Vamos calcular
\lim_{k\to\infty}\frac{k^{2}+k+3}{2k^{2}+1}.
Dividindo numerador e denominador por k^{2}, obtemos
\lim_{k\to\infty}\frac{1 + \frac{1}{k} + \frac{3}{k^{2}}}{2 + \frac{1}{k^{2}}} =\frac{1+0+0}{2+0}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Como
\lim_{k\to\infty}\frac{k^{2}+k+3}{2k^{2}+1}=\tfrac12\neq 0,
pelo Teste da Divergência a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Divergência.

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