Aplique o Teste da Divergência e escreva a conclusão obtida sobre a série.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{e^{k}}.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teste da Divergência à série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{e^{k}}.
O Teste da Divergência diz que, se o termo geral a_{k} não tende a zero quando k\to\infty, então a série diverge. Se a_{k}\to0, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Calcular o limite do termo geral:
a_{k} = \frac{k}{e^{k}}.
Para k\to\infty, como a exponencial cresce muito mais rápido que o polinômio, tem-se
\lim_{k\to\infty}\frac{k}{e^{k}} = 0.

Resposta

O limite do termo geral é zero, portanto o Teste da Divergência não conclui divergência nem convergência (é inconclusivo).

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