Aplique o teste da divergência e escreva a conclusão obtida sobre a sếrie.
(b) sumk=1^infty(1+1k)^k

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da divergência à série sumk=1^inftyl(1+tfrac1kr)^k. O conteúdo aqui é o teste da divergência, que afirma: se limktoinftyakneq0, então a série sum ak diverge.

Passo 2

Chamamos o termo geral de ak=l(1+tfrac1kr)^k. Para usar o teste da divergência, precisamos calcular limktoinftyak.

Passo 3

Usamos a definição clássica da constante e:
limktoinftyl(1+tfrac1kr)^k=e
portanto limktoinftyak=e.

Passo 4

Como limktoinftyak=eneq0, pelo teste da divergência concluímos que a série não converge.

Resposta

A série diverge pelo teste da divergência.

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