Considere a curva parametrizada por sigma(t)=(6(t-sen(t)), 6(1-cos (t)), t in[0,2 pi].
a) (1 ponto) Encontre a equação da reta tangente a essa curva no ponto (3 pi / 2-3 raiz2, 6-3 raiz2).

Passo 1

Então, a gente tem uma curva parametrizada por sigma(t) = (6(t - sin t), 6(1 - cos t)), onde t varia de 0 a 2pi. A nossa tarefa aqui é encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto específico (3pi2 - 3raiz2, 6 - 3raiz2). Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas de funções parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir para qual valor de t a curva passa pelo ponto dado. Ou seja, vamos igualar as coordenadas da curva às do ponto e resolver para t.
Temos:
6(t - sin t) = 3pi2 - 3raiz2
e
6(1 - cos t) = 6 - 3raiz2
Vamos simplificar a segunda equação:
6(1 - cos t) = 6 - 3raiz2 implies 1 - cos t = 1 - raiz22 implies cos t = raiz22
Sabemos que cos(pi4) = raiz22. Então, t = pi4 ou t = 7pi4. Vamos verificar qual desses valores satisfaz a primeira equação.
Para t = pi4:
6(pi4 - sin(pi4)) = 6(pi4 - raiz22) = 3pi2 - 3raiz2
Bingo! Então, t = pi4 é o valor que corresponde ao ponto dado.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função sigma(t), que nos dá o vetor velocidade na curva. A derivada de sigma(t), ou seja, sigma'(t), é dada pelas derivadas das componentes:
sigma'(t) = (6(1 - cos t), 6sin t)

Passo 4

Vamos avaliar sigma'(t) no valor t = pi4 que encontramos:
sigma'(pi4) = (6(1 - cos(pi4)), 6sin(pi4)) = (6(1 - raiz22), 6 cdot raiz22) = (6 - 3raiz2, 3raiz2)
Esse vetor (6 - 3raiz2, 3raiz2) é a direção da reta tangente no ponto dado.

Passo 5

Agora, vamos montar a equação paramétrica da reta tangente usando o ponto (3pi2 - 3raiz2, 6 - 3raiz2) e o vetor direção (6 - 3raiz2, 3raiz2). A equação fica assim:
x = (3pi2 - 3raiz2) + (6 - 3raiz2) cdot s y = (6 - 3raiz2) + 3raiz2 cdot s
onde s é o parâmetro.

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto (3pi2 - 3raiz2, 6 - 3raiz2) é:
x = (3pi2 - 3raiz2) + (6 - 3raiz2) cdot s y = (6 - 3raiz2) + 3raiz2 cdot s
onde s é um número real.

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