Considere a curva parametrizada por
.
a) (1 ponto) Encontre a equação da reta tangente a essa curva no ponto
.
a) (1 ponto) Encontre a equação da reta tangente a essa curva no ponto
Passo 1
Então, a gente tem uma curva parametrizada por
, onde
varia de
a
. A nossa tarefa aqui é encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto específico
. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas de funções parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir para qual valor de
a curva passa pelo ponto dado. Ou seja, vamos igualar as coordenadas da curva às do ponto e resolver para
.
Temos:
e
Vamos simplificar a segunda equação:
Sabemos que
. Então,
ou
. Vamos verificar qual desses valores satisfaz a primeira equação.
Para
:
Bingo! Então,
é o valor que corresponde ao ponto dado.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função
, que nos dá o vetor velocidade na curva. A derivada de
, ou seja,
, é dada pelas derivadas das componentes:
Passo 4
Vamos avaliar
no valor
que encontramos:
Esse vetor
é a direção da reta tangente no ponto dado.
Passo 5
Agora, vamos montar a equação paramétrica da reta tangente usando o ponto
e o vetor direção
. A equação fica assim:
onde
é o parâmetro.
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é:
onde
é um número real.