Considere o circuito elétrico descrito pelo sistema de equações diferenciais abaixo, onde
é a variável que representa a corrente através do indutor, e
é a voltagem no capacitor:
Considere
farad e
henry.
(a) Encontre os autovalores da matriz do sistema
(b) Encontre os autovetores da matriz do sistema
© Encontre a solução geral do sistema.
(d) Encontre
e
se
amperes e
volt.
(a) Encontre os autovalores da matriz do sistema
(b) Encontre os autovetores da matriz do sistema
© Encontre a solução geral do sistema.
(d) Encontre
Passo 1
Estamos estudando um circuito LRC descrito pelo sistema
, onde
é a corrente no indutor e
é a tensão no capacitor. O conteúdo é autovalores, autovetores e solução de sistemas lineares de EDOs; precisaremos montar a matriz numérica e usar o método espectral.
Passo 2
Substituímos
,
,
,
na matriz
Passo 3
Para achar os autovalores, calculamos o polinômio característico
Isso dá a equação
, cujas raízes são
e
.
Passo 4
Agora obtemos os autovetores resolvendo
:
Para , temos
Para
que leva à relação
. Logo podemos escolher
.
Para , temos
Para
que dá
, então
.
Passo 5
A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais:
Passo 6
Impondo as condições iniciais
,
, temos
Isso gera o sistema
cuja solução é ,
.
cuja solução é
Passo 7
Substituindo
na solução geral, obtemos as expressões finais:
Resposta
a) Os autovalores são
e
.
b) Os autovetores correspondentes são e
.
c) A solução geral é
b) Os autovetores correspondentes são
c) A solução geral é
d) Com
,
obtemos