Considere o circuito elétrico descrito pelo sistema de equações diferenciais abaixo, onde I é a variável que representa a corrente através do indutor, e V é a voltagem no capacitor:
dd tbinomIV=(cc -R1L & -1L 1C & -1C R2 )binomIV
Considere R1=1 ohm, R2=3 / 5 ohm, C=2 / 3 farad e L=2 henry.
(a) Encontre os autovalores da matriz do sistema
(b) Encontre os autovetores da matriz do sistema
© Encontre a solução geral do sistema.
(d) Encontre I(t) e V(t) se I(0)=2 amperes e V(0)=1 volt.

Passo 1

Estamos estudando um circuito LRC descrito pelo sistema tfracddtbinomIV=AbinomIV, onde I(t) é a corrente no indutor e V(t) é a tensão no capacitor. O conteúdo é autovalores, autovetores e solução de sistemas lineares de EDOs; precisaremos montar a matriz numérica e usar o método espectral.

Passo 2

Substituímos R1=1, R2=3/5, C=2/3, L=2 na matriz
A=-R1/L & -1/L 1/C & -1/(C R2) =-tfrac12 & -tfrac12 tfrac32 & -tfrac52

Passo 3

Para achar os autovalores, calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I)=det-tfrac12-lambda & -tfrac12 tfrac32 & -tfrac52-lambda=0
Isso dá a equação lambda^2+3lambda+2=0, cujas raízes são lambda1=-1 e lambda2=-2.

Passo 4

Agora obtemos os autovetores resolvendo (A-lambda I)v=0:
Para lambda1=-1, temos
(A+I)=tfrac12 & -tfrac12 tfrac32 & -tfrac32,
que leva à relação x=y. Logo podemos escolher v1=11.
Para lambda2=-2, temos
(A+2I)=tfrac32 & -tfrac12 tfrac32 & -tfrac12,
que dá 3x-y=0, então v2=13.

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais:
I(t)V(t)=C1e^-t11+C2e^-2t13

Passo 6

Impondo as condições iniciais I(0)=2, V(0)=1, temos
C111+C213=21
Isso gera o sistema
C1=5/2
C2=-1/2
cuja solução é , .

Passo 7

Substituindo C1,C2 na solução geral, obtemos as expressões finais:
I(t)=tfrac52e^-t-tfrac12e^-2t,
V(t)=tfrac52e^-t-tfrac32e^-2t

Resposta

a) Os autovalores são lambda1=-1 e lambda2=-2.
b) Os autovetores correspondentes são v1=[1,1]^T e v2=[1,3]^T.
c) A solução geral é
I(t)V(t)=C1e^-t11+C2e^-2t13
d) Com I(0)=2, V(0)=1 obtemos
I(t)=tfrac52e^-t-tfrac12e^-2t,
V(t)=tfrac52e^-t-tfrac32e^-2t

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