Determine se a série converge.
sumk=3^infty ln kk

Passo 1

A série em questão é sumk=3^inftyln kk. O conteúdo principal aqui é teste da integral para séries de termos positivos. Para usar esse teste, precisamos que a função f(x)=ln xx seja contínua, positiva e decrescente em [3,infty).

Passo 2

Vamos verificar que f(x)=ln xx é decrescente para x>=3. Calculamos a derivada:
f'(x)=1xcdot x-ln xx^2=1-ln xx^2
Como para x>=3 temos ln x>=ln3>1, conclui-se que f'(x)<0. Logo f(x) é decrescente em [3,infty).

Passo 3

Comprovada a monotonicidade e positividade, aplicamos o teste da integral:
integral3^inftyln xx,dx
Fazendo a substituição u=ln x, temos du=dxx e os limites vão de u=ln3 até utoinfty. Assim:
integral3^inftyln xx,dx=integralln3^inftyu,du=[u^22]ln3^infty=infty

Passo 4

Como a integral imprópria diverge, o teste da integral nos garante que a série sumk=3^inftyln kk também diverge.

Resposta

A série diverge.

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