Determine se a série converge.
Passo 1
A série em questão é
. O conteúdo principal aqui é teste da integral para séries de termos positivos. Para usar esse teste, precisamos que a função
seja contínua, positiva e decrescente em
.
Passo 2
Vamos verificar que
é decrescente para
. Calculamos a derivada:
Como para
temos
, conclui-se que
. Logo
é decrescente em
.
Passo 3
Comprovada a monotonicidade e positividade, aplicamos o teste da integral:
Fazendo a substituição
, temos
e os limites vão de
até
. Assim:
Passo 4
Como a integral imprópria diverge, o teste da integral nos garante que a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.