Aplique o teste da raiz para dizer se cada série converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n+1(n3 n+1)^n

Passo 1

Enunciado e conteúdo: Queremos analisar a convergência da série alternada sumn=1^infty(-1)^n+1l(tfracn3n+1r)^n. O método escolhido é o teste da raiz, que nos diz que se L=limntoinftyraiz[n]|an| for menor que 1, a série converge absolutamente.

Passo 2

Definição de an e aplicação do teste da raiz: Vamos chamar an = (-1)^n+1l(tfracn3n+1r)^n. O teste da raiz exige calcular
L = limntoinfty raiz[n]|an| = limntoinfty raiz[n]l(tfracn3n+1r)^n = limntoinfty n3n+1

Passo 3

Cálculo do limite e conclusão absoluta: Note que
limntoinfty n3n+1 = 13

Passo 4

Como L=tfrac13<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente. Portanto, a série original converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz, com L=1/3<1).

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