Obtenha as integrais abaixo.
integral cos ^3 x sen 7 x d x

Passo 1

Temos a integral integral cos^3 x sin 7x ,dx. Esse é um problema de integração de funções trigonométricas que envolve uma potência de cos x multiplicada por sin 7x. Para resolver, vamos usar a identidade de redução de potência para cos^3 x e em seguida aplicar as fórmulas produto-soma.

Passo 2

Usamos a identidade de redução de potência:
cos^3 x = 3cos x + cos 3x4

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos:
integral cos^3 x sin 7x ,dx = 14l(3integral cos x sin 7x ,dx + integral cos 3x sin 7x ,dxr)

Passo 4

Aplicamos a fórmula produto-soma em cada integral:
cos xsin 7x = 12l(sin 8x + sin 6xr),
cos 3xsin 7x = 12l(sin 10x + sin 4xr)

Passo 5

Assim, a integral fica
14l[3integral tfrac12(sin 8x+sin 6x),dx + integral tfrac12(sin 10x+sin 4x),dxr] = 18l[3l(integral sin 8x+integral sin 6xr) + l(integral sin 10x+integral sin 4xr)r]

Passo 6

Sabendo que integral sin kx,dx = -cos kxk, temos:
3integral sin 8x,dx = -3cos 8x8, 3integral sin 6x,dx = -3cos 6x6,
integral sin 10x,dx = -cos 10x10, integral sin 4x,dx = -cos 4x4

Passo 7

Agora juntamos tudo e simplificamos os coeficientes:
18l(-3cos 8x8 - 3cos 6x6 - cos 10x10 - cos 4x4r) = -3cos 8x64 - cos 6x16 - cos 10x80 - cos 4x32 + C

Resposta

-\frac{3\cos 8x}{64} - \frac{\cos 6x}{16} - \frac{\cos 10x}{80} - \frac{\cos 4x}{32} + C

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