Use o teste de Leibniz, nos casos em que se aplica, para verificar a convergência das séries
sumn=1^infty(-1)^n raiznn+3 sug: Considere inicialmente a série sumn=3^infty(-1)^n raiznn+3

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série alternante sumn=1^infty(-1)^nraiznn+3 usando o critério de Leibniz. Para isso, vamos começar estudando a série a partir de n=3, pois a condição de monotonicidade só vale a partir desse índice. Precisamos mostrar que as parcelas positivas an=raiznn+3 satisfazem: (i) an é decrescente para n>=3 e (ii) anto0 quando ntoinfty.

Passo 2

Primeiro, calculamos o limite de an. Temos:
limntoinftyraiznn+3=limntoinftyn^1/2nl(1+3/nr)=limntoinfty1n^1/2l(1+3/nr)=0
Em seguida, mostramos que an é decrescente para n>=3. Considere a função real f(x)=raizxx+3. Calculamos sua derivada:
f'(x)=(x+3)cdot12raizx-raizx(x+3)^2=x+3-2x2raizx,(x+3)^2=3-x2raizx,(x+3)^2

Passo 3

Para x>3, o numerador 3-x<0 e o denominador é positivo, logo f'(x)<0. Assim, f é decrescente para x>3, implicando que an+1 para n>=3.
Como an é decrescente a partir de n=3 e anto0, pelo critério de Leibniz a série sumn=3^infty(-1)^nraiznn+3 converge. Somar ou retirar um número finito de termos (os índices n=1,2) não altera a convergência do todo. Por fim, observando que a série de termos absolutos sumraiznn+3 compara-se essencialmente a sum1/raizn, que diverge, concluímos que a convergência é condicional.

Passo 4

Portanto, a série original sumn=1^infty(-1)^nraiznn+3 converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.

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