Use o teste de Leibniz, nos casos em que se aplica, para verificar a convergência das séries
sug: Considere inicialmente a série
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série alternante
usando o critério de Leibniz. Para isso, vamos começar estudando a série a partir de
, pois a condição de monotonicidade só vale a partir desse índice. Precisamos mostrar que as parcelas positivas
satisfazem: (i)
é decrescente para
e (ii)
quando
.
Passo 2
Primeiro, calculamos o limite de
. Temos:
Em seguida, mostramos que
Passo 3
Para
, o numerador
e o denominador é positivo, logo
. Assim,
é decrescente para
, implicando que
para
.
Como é decrescente a partir de
e
, pelo critério de Leibniz a série
converge. Somar ou retirar um número finito de termos (os índices
) não altera a convergência do todo. Por fim, observando que a série de termos absolutos
compara-se essencialmente a
, que diverge, concluímos que a convergência é condicional.
Como
Passo 4
Portanto, a série original
converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.