Aplique o teste da raiz e da razão para séries geométricas , e obtenha os resultados já conhecidos sobre a convergência destas séries.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente aplique o teste da raiz e o teste da razão na série geométrica . Isso faz parte da matéria de Convergência de Séries. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam esses dois testes e como aplicá-los na série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o teste da raiz. Esse teste ajuda a determinar se uma série converge ou diverge calculando a raiz -ésima do termo geral da série.
A série que temos é . O termo geral aqui é .
Segundo o teste da raiz, calculamos:
Agora, interpretamos o resultado:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Agora, vamos para o teste da razão. Esse teste verifica a convergência calculando o limite da razão entre e .
Para a nossa série , temos:
Calculando o limite:
A interpretação é a mesma do teste da raiz:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Resposta
Aplicando tanto o teste da raiz quanto o teste da razão na série geométrica , concluímos que a série converge se e diverge se .