Aplique o teste da raiz e da razão para séries geométricas sum a^n, e obtenha os resultados já conhecidos sobre a convergência destas séries.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente aplique o teste da raiz e o teste da razão na série geométrica . Isso faz parte da matéria de Convergência de Séries. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam esses dois testes e como aplicá-los na série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o teste da raiz. Esse teste ajuda a determinar se uma série converge ou diverge calculando a raiz limn to infty raiz[n]|a^n| = limn to infty |a| = |a| -ésima do termo geral da série.
A série que temos é . O termo geral aqui é .
Segundo o teste da raiz, calculamos:
Agora, interpretamos o resultado:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos para o teste da razão. Esse teste verifica a convergência calculando o limite da razão entre an+1an = a^n+1a^n = a e limn to infty | an+1an | = |a| .
Para a nossa série , temos:
Calculando o limite:
A interpretação é a mesma do teste da raiz:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Resposta

Aplicando tanto o teste da raiz quanto o teste da razão na série geométrica , concluímos que a série converge se e diverge se .

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