Usando séries determinar o valor das seguintes somas infinitas
0,3+0,03+0,003+0,0003+ldots

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o valor da soma infinita usando séries. Aqui, estamos lidando com uma série geométrica, que é uma sequência de termos onde cada termo é uma constante vezes o termo anterior. Para resolver isso, precisamos identificar o primeiro termo da série e a razão entre os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é o primeiro termo da nossa série. Olhando para a soma dada, o primeiro número é a = 0,3 . Então, podemos dizer que o primeiro termo é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a razão comum 0,030,3 = 0,1 entre os termos da série. A razão é o número pelo qual multiplicamos um termo para chegar ao próximo. Observando os termos:
0,0030,03 = 0,1
0,00030,003 = 0,1
r = 0,1
Então, a razão é:

Passo 4

Sabemos que para uma série geométrica infinita com razão S = a1 - r , a soma pode ser calculada usando a fórmula:
Onde é o primeiro termo e é a razão comum.

Passo 5

Vamos aplicar essa fórmula com os valores que encontramos:
S = 0,31 - 0,1
S = 0,30,9
Agora, fazemos a divisão:
S = 0,30,9 = 13

Resposta

A soma infinita é igual a .

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