Verificar a convergência das séries
Passo 1
O exercício pede para verificar a convergência da série cujo termo geral é
. O assunto principal é séries numéricas e, em particular, séries geométricas, cuja convergência e soma conhecemos quando a razão tem módulo menor que 1.
Passo 2
Podemos usar a linearidade das séries: se
e
convergem, então
também converge e sua soma é a diferença das somas. Aqui identificamos duas séries geométricas:
e
.
Lembrando que uma série geométrica converge se
e sua soma é
. No nosso caso temos duas razões:
e
, ambas com módulo menor que 1, logo cada série converge. Calculamos:
Lembrando que uma série geométrica
Passo 3
Passo 4
Como ambas convergem, a série original também converge (e de modo absoluto, já que cada componente é positiva). Finalmente, pela linearidade, a soma é
Resposta
A série converge (absolutamente) e seu valor é
.