Verificar a convergência das séries
sum 13^n-14^n

Passo 1

O exercício pede para verificar a convergência da série cujo termo geral é an=13^n-14^n. O assunto principal é séries numéricas e, em particular, séries geométricas, cuja convergência e soma conhecemos quando a razão tem módulo menor que 1.

Passo 2

Podemos usar a linearidade das séries: se sum xn e sum yn convergem, então sum(xn - yn) também converge e sua soma é a diferença das somas. Aqui identificamos duas séries geométricas: sumn=1^infty 13^n e sumn=1^infty 14^n.
Lembrando que uma série geométrica sumn=1^infty r^n converge se |r|<1 e sua soma é r1-r. No nosso caso temos duas razões: r1=tfrac13 e r2=tfrac14, ambas com módulo menor que 1, logo cada série converge. Calculamos:

Passo 3

sumn=1^infty 13^n = tfrac131-tfrac13 = 1/32/3 = tfrac12,
sumn=1^infty 14^n = tfrac141-tfrac14 = 1/43/4 = tfrac13

Passo 4

Como ambas convergem, a série original também converge (e de modo absoluto, já que cada componente é positiva). Finalmente, pela linearidade, a soma é
sumn=1^infty l(tfrac13^n-tfrac14^nr) = sumn=1^infty tfrac13^n - sumn=1^infty tfrac14^n = tfrac12 - tfrac13 = tfrac16

Resposta

A série converge (absolutamente) e seu valor é tfrac16.

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